题目
例3气缸内贮有36 g水蒸汽(视为刚性分子理想气体)、经-|||-abcda循环过程如图所示.其中 -b 。-0 为等体过程-|||-b-c 为等温过程, d-a 为等压过程.试求:-|||-(1) d-a 过程中水蒸气作的功 _;-|||-(2) a-b 过程中水蒸气内能的增量;-|||-(3)循环过程水蒸汽作的净功W;-|||-(4)循环效率 。-|||-(1atm=1.013times (10)^5Pa)-|||-p(atm)-|||-6 b-|||-c-|||-2 a d-|||-0 25 50 → V(L)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 d-a 过程中水蒸气作的功
在等压过程中，气体作的功为 $W = P \Delta V$，其中 $P$ 是压力，$\Delta V$ 是体积变化。根据题目，$P = 2 atm = 2 \times 1.013 \times 10^5 Pa$，$\Delta V = V_d - V_a = 50 L - 25 L = 25 L = 25 \times 10^{-3} m^3$。因此，$W_{da} = P \Delta V = 2 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3 = 5065 J$。
步骤 2：计算 a-b 过程中水蒸气内能的增量
在等体过程中，气体作的功为零，内能的增量等于吸收的热量。根据理想气体状态方程，$PV = nRT$，其中 $n$ 是摩尔数，$R$ 是理想气体常数，$T$ 是温度。对于刚性分子理想气体，内能的增量为 $\Delta E = \frac{3}{2} nR \Delta T$。根据题目，$P_a = 6 atm = 6 \times 1.013 \times 10^5 Pa$，$P_b = 2 atm = 2 \times 1.013 \times 10^5 Pa$，$V_a = V_b = 25 L = 25 \times 10^{-3} m^3$。因此，$\Delta T = \frac{P_b V_b}{nR} - \frac{P_a V_a}{nR} = \frac{2 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3}{nR} - \frac{6 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3}{nR} = -\frac{4 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3}{nR}$。因此，$\Delta E_{ab} = \frac{3}{2} nR \Delta T = \frac{3}{2} nR \times -\frac{4 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3}{nR} = -3 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3 = -7597.5 J$。
步骤 3：计算循环过程水蒸汽作的净功
循环过程的净功等于各个过程的功之和。根据题目，$W_{bc} = P_b \Delta V_{bc} = 2 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times (50 - 25) \times 10^{-3} m^3 = 5065 J$，$W_{cd} = 0$，$W_{da} = 5065 J$。因此，$W_{循环} = W_{bc} + W_{cd} + W_{da} = 5065 J + 0 + 5065 J = 10130 J$。
步骤 4：计算循环效率
循环效率为 $\eta = \frac{W_{循环}}{Q_{1}}$，其中 $Q_{1}$ 是循环过程中吸收的热量。根据题目，$Q_{1} = \Delta E_{ab} + W_{bc} = -7597.5 J + 5065 J = -2532.5 J$。因此，$\eta = \frac{10130 J}{-2532.5 J} = -4.00$。
在等压过程中，气体作的功为 $W = P \Delta V$，其中 $P$ 是压力，$\Delta V$ 是体积变化。根据题目，$P = 2 atm = 2 \times 1.013 \times 10^5 Pa$，$\Delta V = V_d - V_a = 50 L - 25 L = 25 L = 25 \times 10^{-3} m^3$。因此，$W_{da} = P \Delta V = 2 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3 = 5065 J$。
步骤 2：计算 a-b 过程中水蒸气内能的增量
在等体过程中，气体作的功为零，内能的增量等于吸收的热量。根据理想气体状态方程，$PV = nRT$，其中 $n$ 是摩尔数，$R$ 是理想气体常数，$T$ 是温度。对于刚性分子理想气体，内能的增量为 $\Delta E = \frac{3}{2} nR \Delta T$。根据题目，$P_a = 6 atm = 6 \times 1.013 \times 10^5 Pa$，$P_b = 2 atm = 2 \times 1.013 \times 10^5 Pa$，$V_a = V_b = 25 L = 25 \times 10^{-3} m^3$。因此，$\Delta T = \frac{P_b V_b}{nR} - \frac{P_a V_a}{nR} = \frac{2 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3}{nR} - \frac{6 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3}{nR} = -\frac{4 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3}{nR}$。因此，$\Delta E_{ab} = \frac{3}{2} nR \Delta T = \frac{3}{2} nR \times -\frac{4 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3}{nR} = -3 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times 25 \times 10^{-3} m^3 = -7597.5 J$。
步骤 3：计算循环过程水蒸汽作的净功
循环过程的净功等于各个过程的功之和。根据题目，$W_{bc} = P_b \Delta V_{bc} = 2 \times 1.013 \times 10^5 Pa \times (50 - 25) \times 10^{-3} m^3 = 5065 J$，$W_{cd} = 0$，$W_{da} = 5065 J$。因此，$W_{循环} = W_{bc} + W_{cd} + W_{da} = 5065 J + 0 + 5065 J = 10130 J$。
步骤 4：计算循环效率
循环效率为 $\eta = \frac{W_{循环}}{Q_{1}}$，其中 $Q_{1}$ 是循环过程中吸收的热量。根据题目，$Q_{1} = \Delta E_{ab} + W_{bc} = -7597.5 J + 5065 J = -2532.5 J$。因此，$\eta = \frac{10130 J}{-2532.5 J} = -4.00$。