题目
- 9 若电荷 Q 均匀地分布在长为 L 的细棒上 . 求证: (1) 在棒的延长线, 且离棒中心为 r 处的电场强度为(2) 在棒的垂直平分线上,离棒为 r 处的电场强度为 若棒为无限长 ( 即L→∞ ) ,试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比 较.
- 9 若电荷 Q 均匀地分布在长为 L 的细棒上 . 求证: (1) 在棒的延长线, 且离棒中心为 r 处的电场强度为
(2) 在棒的垂直平分线上,离棒为 r 处的电场强度为 若棒为无限长 ( 即L→∞ ) ,试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比 较.
题目解答
答案
分析 这是计算连续分布电荷的电场强度 . 此时棒的长度不能忽略,因而不 能将棒当作点电荷处理 . 但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直 线上 .如图所示,在长直线上任意取一线元 dx,其电荷为 dq =Qdx/ L,它在 点 P 的电场强度为
整个带电体在点 P 的电场强度 接着针对具体问题来处理这个矢量积分 .
(1) 若点 P 在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点 P 的电场强度方向相 同,
(2) 若点 P 在棒的垂直平分线上, 如图 (A) 所示, 则电场强度 E 沿x 轴方向 的分量因对称性叠加为零,因此,点 P 的电场强度就是
证 (1) 延长线上一点 P 的电场强度 E dq 2 ,利用几何关系 r′= L 2πεr 2
r - x统一积分变量,则
1 Qdx Q 1 1 1 Q
EP 2 2 2
4πε0 L r x 4πε0L r L/2 r L/2 πε0 4r L
电场强度的方向沿 x 轴 .
(2) 根据以上分析,中垂线上一点 P 的电场强度 E 的方向沿 y 轴,大小为 利用几何关系 sin α=r/r′, r r2 x2 统一积分变量,则
当棒长 L→∞时,若棒单位长度所带电荷 λ为常量,则 P 点电场强度 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同[图 (B) ]. 这说明只要
满足 r2/ L2 << 1,带电长直细棒可视为无限长带电直线 .
解析
步骤 1：确定电荷分布和电场强度的计算方法
电荷 Q 均匀分布在长为 L 的细棒上，因此细棒上的电荷密度为 λ = Q/L。在计算电场强度时，需要将细棒上的电荷元 dq = λdx 看作点电荷，计算其在空间某点产生的电场强度，然后对整个细棒上的电荷元进行积分，得到总电场强度。
步骤 2：计算延长线上一点的电场强度
在棒的延长线上，且离棒中心为 r 处的点 P，细棒上各电荷元在点 P 的电场强度方向相同。因此，可以将细棒上的电荷元 dq = λdx 在点 P 产生的电场强度 dE = k * dq / r'^2 沿着 x 轴方向进行积分，其中 r' = |r - x|，k 为库仑常数。积分范围为 -L/2 到 L/2，因为细棒的中心位于原点。
步骤 3：计算垂直平分线上一点的电场强度
在棒的垂直平分线上，离棒为 r 处的点 P，细棒上各电荷元在点 P 的电场强度方向不同，但沿 x 轴方向的分量因对称性叠加为零。因此，可以将细棒上的电荷元 dq = λdx 在点 P 产生的电场强度 dE = k * dq / r'^2 沿着 y 轴方向进行积分，其中 r' = sqrt(r^2 + x^2)，k 为库仑常数。积分范围为 -L/2 到 L/2，因为细棒的中心位于原点。
步骤 4：计算无限长细棒的电场强度
当棒长 L→∞时，若棒单位长度所带电荷 λ为常量，则 P 点电场强度为 E = 2kλ / r。此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。这说明只要满足 r^2 / L^2 << 1，带电长直细棒可视为无限长带电直线。
电荷 Q 均匀分布在长为 L 的细棒上，因此细棒上的电荷密度为 λ = Q/L。在计算电场强度时，需要将细棒上的电荷元 dq = λdx 看作点电荷，计算其在空间某点产生的电场强度，然后对整个细棒上的电荷元进行积分，得到总电场强度。
步骤 2：计算延长线上一点的电场强度
在棒的延长线上，且离棒中心为 r 处的点 P，细棒上各电荷元在点 P 的电场强度方向相同。因此，可以将细棒上的电荷元 dq = λdx 在点 P 产生的电场强度 dE = k * dq / r'^2 沿着 x 轴方向进行积分，其中 r' = |r - x|，k 为库仑常数。积分范围为 -L/2 到 L/2，因为细棒的中心位于原点。
步骤 3：计算垂直平分线上一点的电场强度
在棒的垂直平分线上，离棒为 r 处的点 P，细棒上各电荷元在点 P 的电场强度方向不同，但沿 x 轴方向的分量因对称性叠加为零。因此，可以将细棒上的电荷元 dq = λdx 在点 P 产生的电场强度 dE = k * dq / r'^2 沿着 y 轴方向进行积分，其中 r' = sqrt(r^2 + x^2)，k 为库仑常数。积分范围为 -L/2 到 L/2，因为细棒的中心位于原点。
步骤 4：计算无限长细棒的电场强度
当棒长 L→∞时，若棒单位长度所带电荷 λ为常量，则 P 点电场强度为 E = 2kλ / r。此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。这说明只要满足 r^2 / L^2 << 1，带电长直细棒可视为无限长带电直线。