题目

3 一质量M,半径为R的圆柱(转动惯量为 =dfrac (1)(2)M(e)^2 ),可绕固定的水平轴自由转动。今有一质量为m,速度-|||-为v0的子弹,水平射入静止的圆柱上部(近似看作在圆柱边缘),且停留在圆柱内,则子弹与圆柱的角速度为-|||-()-|||-3.0分)-|||-omega =dfrac (2{v)_(0)}(R)-|||-omega =dfrac (m{v)_(0)}((M+m)R)-|||-omega =dfrac (2m{v)_(0)}((M+m)R)-|||-omega =dfrac (m{v)_(0)}((dfrac {1)(2)M+m)R}

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查角动量守恒定律的应用，涉及刚体转动惯量的计算及碰撞问题中的角动量守恒条件。

解题核心思路：

  1. 确定系统：圆柱和子弹组成的系统，在碰撞过程中外力矩可忽略，故角动量守恒。
  2. 计算碰撞前后的角动量：
    • 碰撞前，圆柱静止，子弹的角动量为 $L_{\text{前}} = m v_0 R$。
    • 碰撞后，圆柱和子弹共同转动，总转动惯量为 $J_{\text{总}} = \frac{1}{2} M R^2 + m R^2$，角动量为 $L_{\text{后}} = J_{\text{总}} \omega$。
  3. 列方程求解：根据角动量守恒 $L_{\text{前}} = L_{\text{后}}$，解出 $\omega$。

破题关键点：

  • 转动惯量的正确计算：圆柱转动惯量为 $\frac{1}{2} M R^2$，子弹嵌在边缘时转动惯量为 $m R^2$。
  • 角动量守恒的条件：碰撞过程内力矩远大于外力矩，故角动量守恒。

步骤1：确定碰撞前后的角动量

  • 碰撞前：圆柱静止，角动量为 $0$；子弹做平动，绕圆柱轴的角动量为：
    $L_{\text{前}} = m v_0 R$
  • 碰撞后：圆柱和子弹共同转动，总转动惯量为：
    $J_{\text{总}} = \frac{1}{2} M R^2 + m R^2 = R^2 \left( \frac{1}{2} M + m \right)$
    角动量为：
    $L_{\text{后}} = J_{\text{总}} \omega = R^2 \left( \frac{1}{2} M + m \right) \omega$

步骤2：应用角动量守恒
根据角动量守恒 $L_{\text{前}} = L_{\text{后}}$，得：
$m v_0 R = R^2 \left( \frac{1}{2} M + m \right) \omega$

步骤3：解方程求角速度
两边消去 $R$ 并整理：
$\omega = \frac{m v_0}{\left( \frac{1}{2} M + m \right) R}$