题目

符合什么规律的运动是简谐运动?说明下列运动是不是简谐运动： (1)完全弹性球在硬地面上的跳动； (2)活塞的往复运动； (3)如问题9-2图所示，一小球沿半径很大的光滑凹球面滚动(设小球所经过的弧线很短)； (4)竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置拉下一段距离(在弹性限度内)，然后放手任其运动。

题目解答

答案

当物体所受的合外力大小与位移成正比且方向与位移方向相反时即F=-kx；或物体的运动方程满足时间的余弦或正弦关系时即x=A cos(ωt+φ)；或物体的动力学方程满足时物体的运动为简谐运动。 (1)不是简谐运动。球在过程中一直受重力作用在与地面碰撞瞬间又受一向上的冲力。故球所受的合力与位移不成正比、反向。 (2)不一定是简谐运动。若活塞在曲杆带动下且曲杆做匀速圆周运动则活塞的运动为简谐运动。若曲杆做加速圆周运动则活塞运动不是简谐运动活塞只是往复运动。 (3)是简偕运动。小球在光滑凹球面上来回滑动其切向外力F=-mg sinθ。 (4)是简谐运动。以平衡位置为原点时重物受到的合力F=-kx满足回复力的要求。当物体所受的合外力大小与位移成正比,且方向与位移方向相反时,即F=-kx；或物体的运动方程满足时间的余弦或正弦关系时,即x=Acos(ωt+φ)；或物体的动力学方程满足时,物体的运动为简谐运动。(1)不是简谐运动。球在过程中一直受重力作用,在与地面碰撞瞬间又受一向上的冲力。故球所受的合力与位移不成正比、反向。(2)不一定是简谐运动。若活塞在曲杆带动下,且曲杆做匀速圆周运动,则活塞的运动为简谐运动。若曲杆做加速圆周运动,则活塞运动不是简谐运动,活塞只是往复运动。(3)是简偕运动。小球在光滑凹球面上来回滑动,其切向外力F=-mgsinθ。(4)是简谐运动。以平衡位置为原点时,重物受到的合力F=-kx满足回复力的要求。

解析

简谐运动的判断核心在于验证是否满足以下任一条件：

合外力与位移成正比且方向相反（即 $F = -kx$）；
运动方程为余弦或正弦函数（如 $x = A\cos(\omega t + \phi)$）；
动力学方程满足简谐运动微分方程（如 $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$）。

关键思路：分析各运动中是否存在连续的、与位移成线性关系的回复力，且运动轨迹是否符合上述数学特征。

(1) 完全弹性球在硬地面上的跳动

分析：

球在空中运动时仅受重力，合力恒定（与位移无关）；
碰撞瞬间受地面的冲力，但此力为脉冲性质，不与位移成正比。
结论：不是简谐运动。

(2) 活塞的往复运动

分析：

若活塞由匀速圆周运动的曲杆驱动，其位移为简谐运动（圆周运动的投影）；
若曲杆做加速运动，活塞运动不满足简谐条件。
结论：不一定是简谐运动。

(3) 小球沿光滑凹球面滚动

分析：

小球受重力的切向分力 $F = -mg\sin\theta$；
当弧线很短时，$\sin\theta \approx \theta$（位移 $x \propto \theta$），故 $F \propto -x$。
结论：是简谐运动。

(4) 弹簧振子运动

分析：

以平衡位置为原点，弹簧的弹力 $F = -kx$；
回复力与位移成正比且方向相反。
结论：是简谐运动。