证明：倒格子矢量 G = h_1 b_1 + h_2 b_2 + h_3 b_3 垂直于密勒指数为 (h_1 h_2 h_3) 的晶面系。

本题考查倒格子矢量与晶面系的关系，解题的关键在于利用倒格子与正格子的正交关系以及密勒指数晶面的性质来证明倒格子矢量与晶面系垂直。

1. 首先明确倒格子与正格子的关系：
   • 倒格子基矢 $\mathbf{b}_i$ 与正格子基矢 $\mathbf{a}_j$ 满足正交关系 $\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j = 2\pi \delta_{ij}$，其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克符号，当 $i = j$ 时，$\delta_{ij}=1$；当 $i\neq j$ 时，$\delta_{ij}=0$。
2. 设晶面系中任意一个晶面的位矢为 $\mathbf{R}$，它可以表示为正格子基矢的线性组合：
   • $\mathbf{R}=n_1\mathbf{a}_1 + n_2\mathbf{a}_2 + n_3\mathbf{a}_3$，其中 $n_1,n_2,n_3$ 为整数。
3. 计算倒格子矢量 $\mathbf{G}$ 与晶面位矢 $\mathbf{R}$ 的点积：
   • 已知 $\mathbf{G} = h_1 \mathbf{b}_1 + h_2 \mathbf{b}_2 + h_3 \mathbf{b}_3$，则 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{R}=(h_1 \mathbf{b}_1 + h_2 \mathbf{b}_2 + h_3 \mathbf{b}_3)\cdot(n_1 \mathbf{a}_1 + n_2 \mathbf{a}_2 + n_3 \mathbf{a}_3)$。
   • 根据点积的分配律展开可得：
     • $\mathbf{G} \cdot \mathbf{R}=h_1n_1\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{a}_1 + h_1n_2\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{a}_2+h_1n_3\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{a}_3+h_2n_1\mathbf{b}_2\cdot\mathbf{a}_1 + h_2n_2\mathbf{b}_2\cdot\mathbf{a}_2+h_2n_3\mathbf{b}_2\cdot\mathbf{a}_3+h_3n_1\mathbf{b}_3\cdot\mathbf{a}_1 + h_3n_2\mathbf{b}_3\cdot\mathbf{a}_2+h_3n_3\mathbf{b}_3\cdot\mathbf{a}_3$。
   • 再利用倒格子与正格子的正交关系 $\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j = 2\pi \delta_{ij}$，上式可化简为：
     • $\mathbf{G} \cdot \mathbf{R}=2\pi h_1n_1\delta_{11}+2\pi h_1n_2\delta_{12}+2\pi h_1n_3\delta_{13}+2\pi h_2n_1\delta_{21}+2\pi h_2n_2\delta_{22}+2\pi h_2n_3\delta_{23}+2\pi h_3n_1\delta_{31}+2\pi h_3n_2\delta_{32}+2\pi h_3n_3\delta_{33}$。
     • 因为 $\delta_{11}=\delta_{22}=\delta_{33}=1$，$\delta_{ij} = 0(i\neq j)$，所以 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{R}=2\pi(h_1n_1 + h_2n_2 + h_3n_3)$。
4. 对于密勒指数为 $(h_1 h_2 h_3)$ 的晶面系：
   • 根据密勒指数晶面的性质，有 $h_1n_1 + h_2n_2 + h_3n_3 = 0$。
   • 那么 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{R}=2\pi\times0 = 0$。
5. 由于 $\mathbf{R}$ 是晶面系内的任意矢量：
   • 根据向量垂直的判定条件，若两个向量的点积为 0，则这两个向量垂直。所以 $\mathbf{G}$ 垂直于晶面内的任意矢量 $\mathbf{R}$，即 $\mathbf{G}$ 垂直于该晶面族。