一质点做简谐振动,周期24秒,当它由平衡位置向x轴的正方向运动时,从二分之一最大位移处到最大位移处的这段路程花费的时间是A. 2B. 3C. 4D. 6

考查要点：本题主要考查简谐振动的运动学特点，特别是质点在不同位移处的时间关系。

解题核心思路：

1. 明确振动周期与各阶段时间的关系：简谐振动的周期为$T$，从平衡位置到最大位移的时间为$\frac{T}{4}$。
2. 利用运动学方程定位时间点：通过位移与时间的函数关系，确定质点到达特定位移的时间。
3. 计算时间差：通过两个关键位移对应的时间差，得出所需路程的时间。

破题关键点：

• 简谐振动的对称性：质点速度随位移变化，从平衡位置到最大位移速度逐渐减小。
• 分阶段分析时间：将运动分解为平衡位置到最大位移的阶段，结合方程求解具体时间。

步骤1：确定振动方程

质点从平衡位置向正方向出发，振动方程为：
$x(t) = A \sin\left(\frac{\pi}{12} t\right)$
其中，周期$T=24$秒，角频率$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{12}$。

步骤2：求位移$x = \frac{A}{2}$对应的时间

当$x = \frac{A}{2}$时：
$\frac{A}{2} = A \sin\left(\frac{\pi}{12} t_1\right) \implies \sin\left(\frac{\pi}{12} t_1\right) = \frac{1}{2}$
解得：
$\frac{\pi}{12} t_1 = \frac{\pi}{6} \implies t_1 = 2 \text{秒}$

步骤3：求位移$x = A$对应的时间

当$x = A$时：
$A = A \sin\left(\frac{\pi}{12} t_2\right) \implies \sin\left(\frac{\pi}{12} t_2\right) = 1$
解得：
$\frac{\pi}{12} t_2 = \frac{\pi}{2} \implies t_2 = 6 \text{秒}$

步骤4：计算时间差

从$x = \frac{A}{2}$到$x = A$的时间为：
$t_2 - t_1 = 6 - 2 = 4 \text{秒}$