7-29 如习题 7-29 图所示,一长为l的细长直杆,水平放置,杆上均匀带电,电荷量为q.-|||-试求:(1)在杆的延长线上任意一点的电势和电场强度.(2)在杆的垂直平分线上任意一点-|||-的电势和电场强度.(提示:通过电势求电场强度)-|||-P-|||-r-|||-B P-|||-A-|||-0-|||-1 r-|||-习题 7-29 图

步骤 1：确定电荷分布和坐标系
设直杆沿x轴放置，其一端位于原点O，另一端位于x=l。在直杆上取一微元dx，其带电量为dq。由于电荷均匀分布，dq = (q/l)dx。在直杆的延长线上取一点P，其坐标为x=r。在直杆的垂直平分线上取一点P'，其坐标为y=r。

步骤 2：计算延长线上任意一点的电势和电场强度
在延长线上任意一点P，其电势为：
$$ V_P = \int_{0}^{l} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{|r-x|} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{l} \frac{1}{|r-x|} \frac{dx}{l} $$
当r > l时，积分可化简为：
$$ V_P = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r-l} \right) $$
电场强度为电势的负梯度，即：
$$ E_P = -\frac{dV_P}{dr} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r^2} - \frac{1}{(r-l)^2} \right) $$

步骤 3：计算垂直平分线上任意一点的电势和电场强度
在垂直平分线上任意一点P'，其电势为：
$$ V_{P'} = \int_{0}^{l} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{\sqrt{r^2 + x^2}} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{l} \frac{1}{\sqrt{r^2 + x^2}} \frac{dx}{l} $$
积分结果为：
$$ V_{P'} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \ln \left( \frac{1 + \sqrt{1 + (l/2r)^2}}{2} \right) $$
电场强度为电势的负梯度，即：
$$ E_{P'} = -\frac{dV_{P'}}{dr} = \frac{q}{2\pi \varepsilon_0 r \sqrt{4r^2 + l^2}} $$