10-17 如图所示,电荷量Q均匀分布在长为L-|||-的细棒上,在细棒的延长线上与细棒中心O距离为a-|||-的P点处放一个电荷量为q的点电荷求:-|||-L-|||-P-|||-O x-|||-上-1/2 a-|||-习题 10-17 图-|||-(1)P点的电场强度;-|||-(2)带电细棒对该点电荷的静电力.

考查要点：本题主要考查连续带电体电场的计算和微元法的应用，需要将带电细棒分成无数电荷元，分别计算各电荷元在P点产生的电场，再积分求和。

解题核心思路：

1. 微元法：将细棒视为无数电荷元的集合，每个电荷元在P点产生的电场为$dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{dQ}{r^2}$。
2. 积分求和：对所有电荷元的电场沿棒方向积分，注意积分变量的选取和积分区间的确定。
3. 静电力计算：根据电场强度与静电力的关系$F = qE$直接求解。

破题关键点：

• 正确建立坐标系，明确棒的两端位置及P点的坐标。
• 线电荷密度$\lambda = \frac{Q}{L}$的表达式。
• 积分变量替换，化简积分表达式时注意分母的平方差公式。

第（1）题：P点的电场强度

建立坐标系与微元分析

设棒的中心O在原点，棒沿x轴延伸，两端坐标为$x = -\frac{L}{2}$和$x = \frac{L}{2}$，P点坐标为$x = a$。
取棒上坐标为$x$处的微小电荷段，其长度为$dx$，电荷量为$dQ = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$。

计算微元电场

该电荷元在P点产生的电场大小为：
$dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{dQ}{(a - x)^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 L} \cdot \frac{dx}{(a - x)^2}$

积分求总电场

对棒的全长积分：
$E = \int_{-L/2}^{L/2} dE = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 L} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{(a - x)^2}$

化简积分

令$u = a - x$，则$du = -dx$，积分上下限变为$u = a + L/2$到$u = a - L/2$：
$\int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{(a - x)^2} = \int_{a + L/2}^{a - L/2} \frac{-du}{u^2} = \int_{a - L/2}^{a + L/2} \frac{du}{u^2} = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{a - L/2}^{a + L/2}$

计算得：
$\int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{(a - x)^2} = \frac{L}{a^2 - \frac{L^2}{4}}$

最终电场强度

代入积分结果：
$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{a^2 - \frac{L^2}{4}}$

方向分析：若Q为正电荷，棒对P点的电场方向水平向右。

第（2）题：静电力计算

根据静电力公式$F = qE$，代入第一问结果：
$F = q \cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 \left(a^2 - \frac{L^2}{4}\right)} = \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 \left(a^2 - \frac{L^2}{4}\right)}$

方向分析：与电场方向一致，水平向右。