题目
一半径为R,质量为m的均匀圆盘,可绕固定光滑轴转动,现以一轻绳绕在轮边缘,绳的下端挂一质量为m的物体,求圆盘从静止开始转动后,它转过的角度与时间的关系?
一半径为R,质量为m的均匀圆盘,可绕固定光滑轴转动,现以一轻绳绕在轮边缘,绳的下端挂一质量为m的物体,求圆盘从静止开始转动后,它转过的角度与时间的关系?
题目解答
答案
设绳子张力为T;
圆盘转动惯量
;
绳子对圆盘的力矩
;
又有圆盘角加速度
,则
;
以下挂重物为研究对象：
有
;
又有
;
解得：
;
;
角度
;
带入后得：
角度
;
解析
步骤 1：确定圆盘的转动惯量
圆盘的转动惯量$J$可以通过公式$J=\dfrac{1}{2}mR^2$计算，其中$m$是圆盘的质量，$R$是圆盘的半径。
步骤 2：确定圆盘的角加速度
圆盘的角加速度$\alpha$可以通过力矩$L$和转动惯量$J$的关系$L=J\alpha$计算。力矩$L$等于绳子的张力$T$乘以半径$R$，即$L=TR$。因此，$\alpha=\dfrac{L}{J}=\dfrac{TR}{\dfrac{1}{2}mR^2}=\dfrac{2T}{mR}$。
步骤 3：确定绳子的张力
绳子的张力$T$可以通过分析挂重物的受力情况得到。重物受到重力$mg$和绳子的张力$T$的作用，根据牛顿第二定律，$mg-T=ma$，其中$a$是重物的加速度。由于圆盘的角加速度$\alpha$和重物的加速度$a$之间有关系$a=\alpha R$，可以将$a$代入上式得到$mg-T=m\alpha R$。将$\alpha=\dfrac{2T}{mR}$代入上式，解得$T=\dfrac{1}{3}mg$。
步骤 4：确定圆盘的角加速度
将$T=\dfrac{1}{3}mg$代入$\alpha=\dfrac{2T}{mR}$，得到$\alpha=\dfrac{2}{3}\dfrac{g}{R}$。
步骤 5：确定圆盘转过的角度与时间的关系
圆盘从静止开始转动，其转过的角度$\theta$与时间$t$的关系可以通过公式$\theta=\dfrac{1}{2}\alpha t^2$计算。将$\alpha=\dfrac{2}{3}\dfrac{g}{R}$代入上式，得到$\theta=\dfrac{1}{2}\dfrac{2}{3}\dfrac{g}{R}t^2=\dfrac{1}{3}\dfrac{g}{R}t^2$。
圆盘的转动惯量$J$可以通过公式$J=\dfrac{1}{2}mR^2$计算，其中$m$是圆盘的质量，$R$是圆盘的半径。
步骤 2：确定圆盘的角加速度
圆盘的角加速度$\alpha$可以通过力矩$L$和转动惯量$J$的关系$L=J\alpha$计算。力矩$L$等于绳子的张力$T$乘以半径$R$，即$L=TR$。因此，$\alpha=\dfrac{L}{J}=\dfrac{TR}{\dfrac{1}{2}mR^2}=\dfrac{2T}{mR}$。
步骤 3：确定绳子的张力
绳子的张力$T$可以通过分析挂重物的受力情况得到。重物受到重力$mg$和绳子的张力$T$的作用，根据牛顿第二定律，$mg-T=ma$，其中$a$是重物的加速度。由于圆盘的角加速度$\alpha$和重物的加速度$a$之间有关系$a=\alpha R$，可以将$a$代入上式得到$mg-T=m\alpha R$。将$\alpha=\dfrac{2T}{mR}$代入上式，解得$T=\dfrac{1}{3}mg$。
步骤 4：确定圆盘的角加速度
将$T=\dfrac{1}{3}mg$代入$\alpha=\dfrac{2T}{mR}$，得到$\alpha=\dfrac{2}{3}\dfrac{g}{R}$。
步骤 5：确定圆盘转过的角度与时间的关系
圆盘从静止开始转动，其转过的角度$\theta$与时间$t$的关系可以通过公式$\theta=\dfrac{1}{2}\alpha t^2$计算。将$\alpha=\dfrac{2}{3}\dfrac{g}{R}$代入上式，得到$\theta=\dfrac{1}{2}\dfrac{2}{3}\dfrac{g}{R}t^2=\dfrac{1}{3}\dfrac{g}{R}t^2$。