题目

有一平面简谐波沿x轴负方向传播,波速为 =8m/s, 如图-|||--21 所示.已知在 x=0 处的质点的振动方程为 =0.10cos (2pi t+dfrac (pi )(2))m, u-|||-0 x-|||-试求在x轴上 x=-6m 处的振动方程. 图 6-21

题目解答

答案

解析

本题考查平面简谐波波函数的知识以及如何根据波函数求解特定位置的振动方程。解题思路如下：

  1. 首先明确沿$x$轴负方向传播的平面简谐波的波函数一般形式。对于沿$x$轴负方向传播的波，其波函数为$y = A\cos[\omega(t+\frac{x}{u})+\varphi]$，其中$A$是振幅，$\omega$是角频率，$u$是波速，$\varphi$是初相位。
  2. 然后从已知的$x = 0$处质点的振动方程$y=0.10\cos (2\pi t+\frac {\pi }{2})m$中，确定出$A$、$\omega$和$\varphi$的值。
    • 对比振动方程的一般形式$y = A\cos(\omega t+\varphi)$，可得$A = 0.10m$，$\omega = 2\pi rad/s$，$\varphi=\frac{\pi}{2}$。
  3. 接着将$A$、$\omega$、$\varphi$和已知的波速$u = 8m/s$代入波函数的一般形式，得到该波的波函数。
    • 把$A = 0.10m$，$\omega = 2\pi rad/s$，$\varphi=\frac{\pi}{2}$，$u = 8m/s$代入$y = A\cos[\omega(t+\frac{x}{u})+\varphi]$，可得$y=0.10\cos [ 2\pi(t+\frac {x}{8})+\frac {\pi }{2}]m$。
  4. 最后将$x=-6m$代入波函数，求出$x=-6m$处的振动方程。
    • 把$x = - 6m$代入$y=0.10\cos [ 2\pi(t+\frac {x}{8})+\frac {\pi }{2}]$，得到$y=0.10\cos [ 2\pi(t+\frac {-6}{8})+\frac {\pi }{2}]$。
    • 对$2\pi(t+\frac {-6}{8})+\frac {\pi }{2}$进行化简：
      $\begin{align*}2\pi(t+\frac {-6}{8})+\frac {\pi }{2}&=2\pi t+2\pi\times(-\frac{6}{8})+\frac {\pi }{2}\\&=2\pi t-\frac{12\pi}{8}+\frac {\pi }{2}\\&=2\pi t-\frac{3\pi}{2}+\frac {\pi }{2}\\&=2\pi t - \pi\end{align*}$
    • 所以$x=-6m$处的振动方程为$y = 0.10\cos(2\pi t - \pi)m$。