室温下,硅的禁带宽度 _(g)=1.12eV, 估计室温下本征硅导带底的一个能态被电子占据-|||-的概率为 __ 硅导带底的一个能态被电子占据的概率为 ^-4, 此时费米能级的位置-|||-在 __ 玻耳兹曼分布是否近似成立? __

考查要点：本题主要考查半导体中费米能级的位置、玻耳兹曼分布的应用，以及导带底能态被电子占据概率的计算。

解题核心思路：

1. 本征硅的费米能级位置：在本征半导体中，费米能级位于禁带中央，即 $E_f = -\frac{E_g}{2}$。
2. 玻耳兹曼分布的应用条件：当能量差 $(E - E_f) \gg kT$ 时，费米-狄拉克分布可近似为玻耳兹曼分布 $f(E) \approx \exp\left(-\frac{E - E_f}{kT}\right)$。
3. 概率与费米能级的关系：通过占据概率公式反推费米能级的位置，并验证玻耳兹曼近似的有效性。

破题关键点：

• 明确导带底能级位置：假设导带底能量为 $E_c = 0$，则价带顶能量为 $E_v = -E_g$。
• 本征条件下费米能级计算：$E_f = -\frac{E_g}{2}$。
• 玻耳兹曼分布公式的变形与求解：通过概率公式反推 $E_f$，并判断 $(E - E_f)/kT$ 是否足够大。

第一空：本征硅导带底能态被占据的概率

1. 确定费米能级位置
   本征硅中，费米能级位于禁带中央：
   $E_f = -\frac{E_g}{2} = -\frac{1.12}{2} = -0.56 \, \text{eV}.$

2. 应用玻耳兹曼分布公式
   导带底能量 $E_c = 0$，占据概率为：
   $f(E_c) = \exp\left(-\frac{E_c - E_f}{kT}\right) = \exp\left(-\frac{0 - (-0.56)}{kT}\right).$

3. 代入数据计算
   室温 $T = 300 \, \text{K}$，$k = 8.617 \times 10^{-5} \, \text{eV/K}$，则：
   $kT = 8.617 \times 10^{-5} \times 300 \approx 0.02585 \, \text{eV},$
   $f(E_c) = \exp\left(-\frac{0.56}{0.02585}\right) = \exp(-21.67) \approx 4.43 \times 10^{-10}.$

第二空：费米能级的位置

1. 建立概率方程
   设占据概率为 $10^{-4}$，则：
   $\exp\left(-\frac{0 - E_f}{kT}\right) = 10^{-4}.$

2. 取自然对数求解
   $-\frac{-E_f}{kT} = \ln(10^{-4}),$
   $E_f = -kT \ln(10^4).$

3. 代入数据计算
   $\ln(10^4) = 4 \ln(10) \approx 9.210,$
   $E_f = -0.02585 \times 9.210 \approx -0.24 \, \text{eV}.$
   因此，费米能级位于导带底（$E=0$）下方 $0.24 \, \text{eV}$ 处。

第三空：玻耳兹曼分布是否成立

1. 判断能量差与 $kT$ 的比值
   $\frac{E_c - E_f}{kT} = \frac{0 - (-0.24)}{0.02585} \approx 9.28.$

2. 验证条件
   当比值 $\gg 5$ 时，玻耳兹曼近似成立。此处 $9.28 > 5$，故成立。