题目

习题9.8作为向下的跃迁机制,自发发射和热激发射(对于黑体辐射来讲受激发射就-|||-是辐射源)存在竞争。证明在室温时( =300K, 当频率在 times (10)^12Hz 以下时,热激发占主导-|||-地位;而当频率在 times (10)^12Hz 以上时,自发辐射占主导地位。对于可见光,哪一种发射机制占-|||-主导地位?

题目解答

答案

解析

本题考查自发发射和热激发射的跃迁速率以及它们之间的竞争关系，解题思路是先分别写出自发发射和热激发射的跃迁速率公式，然后求出它们的比值，根据比值与频率的关系确定不同频率下哪种发射机制占主导地位，最后判断可见光的情况。

  1. 写出自发发射和热激发射的跃迁速率公式：
    • 自发发射的跃迁速率为 $A = \frac{\omega^{3}R^{2}}{3\pi\varepsilon_{0}hc^{3}}$，其中 $R = q\langle\varphi_{a}|r|\varphi_{b}\rangle$ 是电偶极矩矩阵元。
    • 热激发射的跃迁速率为 $R_{th}=\frac{\pi}{3\varepsilon_{0}\hbar^{2}}|R|^{2}\rho(\omega)$，其中 $\rho(\omega)=\frac{h}{\pi^{2}c^{3}}\frac{\omega^{3}}{(e^{\hbar\omega/k_{B}T}-1)}$ 是电磁波的能量密度。
  2. 计算自发发射和热激发射跃迁速率的比值：
    将上述公式代入 $\frac{A}{R_{th}}$ 可得：
    $\begin{align*}\frac{A}{R_{th}}&=\frac{\frac{\omega^{3}R^{2}}{3\pi\varepsilon_{0}hc^{3}}}{\frac{\pi}{3\varepsilon_{0}\hbar^{2}}|R|^{2}\cdot\frac{h}{\pi^{2}c^{3}}\frac{\omega^{3}}{(e^{\hbar\omega/k_{B}T}-1)}}\\&=\frac{\omega^{3}R^{2}}{3\pi\varepsilon_{0}hc^{3}}\cdot\frac{3\varepsilon_{0}\hbar^{2}\pi^{2}c^{3}(e^{\hbar\omega/k_{B}T}-1)}{\pi|R|^{2}h\omega^{3}}\\&=e^{\frac{\hbar\omega}{k_{B}T}} - 1\end{align*}$
  3. 确定两种发射机制占主导地位的频率分界点：
    当 $\frac{A}{R_{th}} = 1$ 时，两种发射机制的跃迁速率相等，此时 $e^{\frac{\hbar\omega}{k_{B}T}} - 1 = 1$，即 $e^{\frac{\hbar\omega}{k_{B}T}} = 2$。
    两边取自然对数可得 $\frac{\hbar\omega}{k_{B}T}=\ln 2$，则 $\omega=\frac{k_{B}T\ln 2}{\hbar}$。
    已知 $k_{B}=1.38\times 10^{-23}J/K$，$T = 300K$，$\hbar=\frac{h}{2\pi}$，$h = 6.63\times 10^{-34}J\cdot s$，代入可得：
    $\begin{align*}\omega&=\frac{(1.38\times 10^{-23}J/K)\times300K\times\ln 2}{\frac{6.63\times 10^{-34}J\cdot s}{2\pi}}\\&\approx 2.75\times 10^{14}rad/s\end{align*}$
    根据 $\omega = 2\pi\nu$，可得 $\nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2.75\times 10^{14}rad/s}{2\pi}\approx 4.38\times 10^{12}Hz$。
    因为 $\frac{A}{R_{th}} = e^{\frac{\hbar\omega}{k_{B}T}} - 1$ 是随 $\omega$ 增加而单调增加的函数，所以当频率高于 $4.38\times 10^{12}Hz$ 时，$\frac{A}{R_{th}}>1$，自发辐射占主导地位；当频率低于 $4.38\times 10^{12}Hz$ 时，$\frac{A}{R_{th}}<1$，热激发射占主导地位。
  4. 判断可见光的发射机制：
    可见光的频率范围大约是 $3.9\times 10^{14}Hz$ 到 $7.5\times 10^{14}Hz$，远高于 $4 4.38\times 10^{12}Hz$，所以对可见光是自发辐射占主导地位。