题目
质量为 0.5,(kg) 的质点，初始角动量为 2,(kg)cdot(m)^2/(s)，在合外力矩作用下，经过 2,(s) 后角动量变为 6,(kg)cdot(m)^2/(s)，则合外力矩的冲量矩大小为 ________ (N)cdot(m)cdot(s)，合外力矩大小为 ________ (N)cdot(m)。
质量为 $0.5\,\text{kg}$ 的质点，初始角动量为 $2\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$，在合外力矩作用下，经过 $2\,\text{s}$ 后角动量变为 $6\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$，则合外力矩的冲量矩大小为 ________ $\text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}$，合外力矩大小为 ________ $\text{N}\cdot\text{m}$。
题目解答
答案
根据角动量定理，合外力矩的冲量矩为：
\[
\int M \, dt = L_2 - L_1 = 6 - 2 = 4 \, \text{N·m·s}
\]
若合外力矩恒定，则：
\[
M = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{4}{2} = 2 \, \text{N·m}
\]
最终结果：
合外力矩的冲量矩大小为 $ 4 \, \text{N·m·s} $，合外力矩大小为 $ 2 \, \text{N·m} $。
答案：4 N·m·s，2 N·m。
解析
本题考查角动量定理的应用。解题思路如下：
- 首先明确角动量定理的内容，合外力矩的冲量矩等于质点角动量的增量。
- 对于第一空，根据角动量定理$\int_{t_1}^{t_2}Mdt = L_2 - L_1$，其中$\int_{t_1}^{t_2}Mdt$为合外力矩的冲量矩，$L_1$为初始角动量，$L_2$为末角动量。已知$L_1 = 2\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$，$L_2 = 6\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$，将其代入公式可得：
- $\int_{t_1}^{t_2}Mdt = L_2 - L_1=6 - 2=4\,\text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}$。
- 对于第二空，若合外力矩$M$恒定，则合外力矩$M=\frac{\Delta L}{\Delta t}$，其中$\Delta L = L_2 - L_1$为角动量的变化量，$\Delta t=t_2 - t_1$为时间间隔。已知$\Delta L = 4\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$，$\Delta t = 2\,\text{s}$，将其代入公式可得：
- $M=\frac{\Delta L}{\Delta t}=\frac{4}{2}=2\,\text{N}\cdot\text{m}$。