题目

在25^circmathrm(C)时，活塞桶中放有100mathrm(g),mathrm(N)_(2)，当外压为3039.75mathrm(kPa)时处于平衡，若压力骤减到1013.25mathrm(kPa)，气体绝热膨胀，试计算体系的最后温度、triangle U、triangle H。假定mathrm(N)_(2)是理想气体，且C_(v,m)(mathrm(N)_(2))=20.71,mathrm(Jcdot K^-1cdot mol^-1)解: m(mathrm(N)_(2))=100mathrm(g)T_(1)=298.15mathrm(K) xrightarrow(substack{mathrm{绝热恒外压膨胀)}} T_(2)= ?P_(1)=3039.75mathrm(kPa)P_(2)=1013.25mathrm(kPa)绝热过程 Q=0 triangle U=W triangle U=n,C_(v,m)(T_(2)-T_(1))W=-P_(mathrm{外)}(V_(2)-V_(1))=-P_(2)((nRT_(2))/(P_(2))-(nRT_(1))/(P_(1)))therefore n,C_(v,m)(T_(2)-T_(1))=-P_(2)((nRT_(2))/(P_(2))-(nRT_(1))/(P_(1)))T_(2)=241.4,mathrm(K)triangle H=n,C_(p,m)(T_(2)-T_(1))=-5898,mathrm(J)

在$25^{\circ}\mathrm{C}$时，活塞桶中放有$100\mathrm{g}\,\mathrm{N}_{2}$，当外压为$3039.75\mathrm{kPa}$时处于平衡，若压力骤减到$1013.25\mathrm{kPa}$，气体绝热膨胀，试计算体系的最后温度、$\triangle U$、$\triangle H$。假定$\mathrm{N}_{2}$是理想气体，且$C_{v,m}(\mathrm{N}_{2})=20.71\,\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$

解: $m(\mathrm{N}_{2})=100\mathrm{g}$

$T_{1}=298.15\mathrm{K}$ $\xrightarrow{\substack{\mathrm{绝热恒外压膨胀}}}$ $T_{2}=$ ?

$P_{1}=3039.75\mathrm{kPa}$

$P_{2}=1013.25\mathrm{kPa}$

绝热过程 $Q=0$ $\triangle U=W$ $\triangle U=n\,C_{v,m}(T_{2}-T_{1})$

$W=-P_{\mathrm{外}}(V_{2}-V_{1})=-P_{2}\left(\frac{nRT_{2}}{P_{2}}-\frac{nRT_{1}}{P_{1}}\right)$

$\therefore n\,C_{v,m}(T_{2}-T_{1})=-P_{2}\left(\frac{nRT_{2}}{P_{2}}-\frac{nRT_{1}}{P_{1}}\right)$

$T_{2}=241.4\,\mathrm{K}$

$\triangle H=n\,C_{p,m}(T_{2}-T_{1})=-5898\,\mathrm{J}$

题目解答

答案

根据题意，$ n = \frac{100}{28} \approx 3.571 \, \text{mol} $。由绝热膨胀公式： \[ T_2 = \frac{T_1 (C_{v,m} + R \frac{p_2}{p_1})}{C_{v,m} + R} = \frac{298.15 (20.71 + 8.314/3)}{20.71 + 8.314} \approx 241.2 \, \text{K} \] \[ \Delta U = nC_{v,m}(T_2 - T_1) = 3.571 \times 20.71 \times (-56.95) \approx -4200 \, \text{J} \] \[ \Delta H = nC_{p,m}(T_2 - T_1) = 3.571 \times 29.024 \times (-56.95) \approx -5898 \, \text{J} \] 最终结果： \[ T_2 \approx 241.2 \, \text{K}, \quad \Delta U \approx -4.2 \times 10^3 \, \text{J}, \quad \Delta H \approx -5.9 \times 10^3 \, \text{J} \]

解析

本题考查理想气体绝热恒外压膨胀过程中温度、热力学能变和焓变的计算。解题思路如下：

首先根据理想气体状态方程和绝热过程的特点（$Q = 0$，$\Delta U=W$）建立等式，求出体系的最后温度$T_2$。
然后根据热力学能变和焓变的计算公式分别计算$\Delta U$和$\Delta H$。

1. 计算$N_2$的物质的量$n$

已知$N_2$的质量$m = 100g$，$N_2$的摩尔质量$M = 28g/mol$，根据物质的量的计算公式$n=\frac{m}{M}$，可得：
$n=\frac{100g}{28g/mol}\approx3.571mol$

2. 推导并计算最后温度$T_2$

已知绝热过程$Q = 0$，则$\Delta U = W$。
$\Delta U=nC_{v,m}(T_2 - T_1)$，$W=-P_{外}(V_2 - V_1)$，因为是恒外压膨胀，$P_{外}=P_2$，且对于理想气体$V_1=\frac{nRT_1}{P_1}$，$V_2=\frac{nRT_2}{P_2}$，所以$W=-P_2(\frac{nRT_2}{P_2}-\frac{nRT_1}{P_1})$。
由$\Delta U = W$可得：
$nC_{v,m}(T_2 - T_1)=-P_2(\frac{nRT_2}{P_2}-\frac{nRT_1}{P_1})$
等式两边同时约去$n$，得到：
$C_{v,m}(T_2 - T_1)=-R T_2+\frac{R T_1P_2}{P_1}$
展开括号：
$C_{v,m}T_2 - C_{v,m}T_1=-R T_2+\frac{R T_1P_2}{P_1}$
移项可得：
$C_{v,m}T_2+R T_2 = C_{v,m}T_1+\frac{R T_1P_2}{P_1}$
提取公因式$T_2$和$T_1$：
$T_2(C_{v,m}+R)=T_1(C_{v,m}+R\frac{P_2}{P_1})$
则$T_2=\frac{T_1(C_{v,m}+R\frac{P_2}{P_1})}{C_{v,m}+R}$
已知$T_1 = 298.15K$，$C_{v,m}=20.71J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}$，$R = 8.314J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}$，$P_1 = 3039.75kPa$，$P_2 = 1013.25kPa$，代入上式可得：
$\begin{align*}T_2&=\frac{298.15\times(20.71 + 8.314\times\frac{1013.25}{3039.75})}{20.71 + 8.314}\\&=\frac{298.15\times(20.71 + 8.314\times\frac{1}{3})}{20.71 + 8.314}\\&=\frac{298.15\times(20.71 + 2.7713)}{29.024}\\&=\frac{298.15\times23.4813}{29.024}\\&\approx241.2K\end{align*}$

3. 计算$\Delta U$

根据$\Delta U=nC_{v,m}(T_2 - T_1)$，将$n = 3.571mol$，$C_{v,m}=20.71J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}$，$T_1 = 298.15K$，$T_2 = 241.2K$代入可得：
$\Delta U=3.571mol\times20.71J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\times(241.2K - 298.15K)$
$=3.571\times20.71\times(-56.95)J\approx - 4200J=-4.2\times10^3J$

4. 计算$\Delta H$

对于理想气体，$C_{p,m}=C_{v,m}+R$，则$C_{p,m}=20.71J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}+8.314J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}=29.024J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}$。
根据$\Delta H=nC_{p,m}(T_2 - T_1)$，将$n = 3.571mol$，$C_{p,m}=29.024J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}$，$T_1 = 298.15K$，$T_2 = 241.2K$代入可得：
$\Delta H=3.571mol\times29.024J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\times(241.2K - 298.15K)$
$=3.571\times29.024\times(-56.95)J\approx - 5898J=-5.9\times10^3J$