题目
在图示机构中,不可伸长的无重绳跨过质量B为M,半径R的均质定滑轮,一端挂有质量m的物块A,另一端与质量M,半径R的均O质圆柱体的质心C相连,圆柱体沿水平面纯滚动,绳的BC段水平。系统由静止开始运动,求物块A下降h时:(1)物块A的速度和加速度; (2)绳BC段的张力。B-|||-O-|||-square
在图示机构中,不可伸长的无重绳跨过质量B为M,半径R的均质定滑轮,一端挂有质量m的物块A,另一端与质量M,半径R的均O质圆柱体的质心C相连,圆柱体沿水平面纯滚动,绳的BC段水平。系统由静止开始运动,求物块A下降h时:(1)物块A的速度和加速度; (2)绳BC段的张力。
题目解答
答案
根据运动学关系,物块A下降的距离h等于圆柱体C移动的距离，所以
根据能量守恒
化简得
带入
，即
解得
根据牛顿第二定律求加速度：
对物块A，
对圆柱体，
因为
，联立方程得
解出
由，把
代入得
解析
步骤 1：确定运动学关系
物块A下降的距离h等于圆柱体C移动的距离，所以${v}_{A}={v}_{C}$, ${a}_{A}=ac$。
步骤 2：应用能量守恒定律
根据能量守恒定律，物块A下降时的重力势能转化为动能，包括物块A的动能、圆柱体C的动能和圆柱体C的转动动能。因此，有：
$mgh=\dfrac {1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\dfrac {1}{2}M{{v}_{C}}^{2}+\dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{2}M{R}^{2}){(\dfrac {vc}{R})}^{2}$
化简得$mgh=\dfrac {1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\dfrac {1}{2}M{{v}_{C}}^{2}+\dfrac {1}{4}M{{v}_{C}}^{2}$
带入${v}_{A}={v}_{C}$，即$mgh=\dfrac {1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\dfrac {3}{4}M{{v}_{A}}^{2}$
解得${v}_{A}=\sqrt {\dfrac {4mgh}{2m+3M}}$
步骤 3：应用牛顿第二定律求加速度
对物块A，$mg-T=m{a}_{A}$
对圆柱体，T=Mac
因为${a}_{A}=ac$，联立方程得$mg-M{a}_{A}=m{a}_{A}$
解出${a}_{A}={a}_{c}=\dfrac {mg}{m+M}$
步骤 4：求绳BC段的张力
由T=Mac，把${a}_{c}=\dfrac {mg}{m+M}$代入得$T=M\dfrac {mg}{m+M}=\dfrac {Mmg}{m+M}$
物块A下降的距离h等于圆柱体C移动的距离，所以${v}_{A}={v}_{C}$, ${a}_{A}=ac$。
步骤 2：应用能量守恒定律
根据能量守恒定律，物块A下降时的重力势能转化为动能，包括物块A的动能、圆柱体C的动能和圆柱体C的转动动能。因此，有：
$mgh=\dfrac {1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\dfrac {1}{2}M{{v}_{C}}^{2}+\dfrac {1}{2}(\dfrac {1}{2}M{R}^{2}){(\dfrac {vc}{R})}^{2}$
化简得$mgh=\dfrac {1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\dfrac {1}{2}M{{v}_{C}}^{2}+\dfrac {1}{4}M{{v}_{C}}^{2}$
带入${v}_{A}={v}_{C}$，即$mgh=\dfrac {1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\dfrac {3}{4}M{{v}_{A}}^{2}$
解得${v}_{A}=\sqrt {\dfrac {4mgh}{2m+3M}}$
步骤 3：应用牛顿第二定律求加速度
对物块A，$mg-T=m{a}_{A}$
对圆柱体，T=Mac
因为${a}_{A}=ac$，联立方程得$mg-M{a}_{A}=m{a}_{A}$
解出${a}_{A}={a}_{c}=\dfrac {mg}{m+M}$
步骤 4：求绳BC段的张力
由T=Mac，把${a}_{c}=\dfrac {mg}{m+M}$代入得$T=M\dfrac {mg}{m+M}=\dfrac {Mmg}{m+M}$