455 已知总体X的期望 EX=0 ,方差 =(sigma )^2 .X1,.,Xn是来自总体X的简单随-|||-机样本,其均值为X,则可以作出σ^2的无偏估计量-|||-(A) dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2 . (B) dfrac (1)(n+1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2 .-|||-(C) dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2 - (D) dfrac (1)(n+1)sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2 .

本题考查无偏估计量的概念及期望的计算。解题的关键在于根据无偏估计量的定义，即估计量的期望等于被估计的参数，分别计算各选项的期望，看哪个等于总体方差$\sigma^2$。

选项A

已知$E\left(\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right)=\sigma^2$，我们来推导$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right)$的值。
因为$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2=\frac{n - 1}{n}\cdot\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，根据期望的性质$E(aY)=aE(Y)$（其中$a$为常数，$Y$为随机变量），可得：
$E\left(\frac{1}{n}\sum\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right)=\frac{n - 1}{n}E\left(\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right)=\frac{n - 1}{n}\cdot\sigma^2\neq\sigma^2$
所以选项A不是\(\sigma^2\的无偏估计量。 ## 选项B 同样根据期望的性质，$E\left(\frac{1}{n + 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right)=\frac{n - 1}{n + 1}E\left(\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\right)=\frac{n - 1}{n + 1}\cdot\sigma^2\neq\sigma^2$
所以选项B不是$\sigma^2$的无偏估计量。

选项C

因为总体$X$的期望$EX = 0$，方差$DX=\sigma^2$，根据方差的计算公式$DX = E(X^2) - (EX)^2$，可得$E(X^2)=DX+(EX)^2=\sigma^2+0^2=\sigma^2$。
又因为$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，所以$E(X_i^2)=\sigma^2$（$i = 1,2,\cdots,n$）。
再根据期望的性质$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i^2\right)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i^2)$，将$E(X_i^2)=\sigma^2$代入可得：
$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i^2\right)=\frac{1}{n}\cdot n\cdot\sigma^2=\sigma^2$
所以选项C是$\sigma^2$的无偏估计量。

选项D

根据期望的性质$E\left(\frac{1}{n + 1}\sum_{i = 1}^{n}X_i^2\right)=\frac{1}{n + 1}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i^2)$，将$E(X_i^2)=\sigma^2$代入可得：
$E\left(\frac{1}{n + 1}\sum_{i = 1}^{n}X_i^2\right)=\frac{1}{n + 1}\cdot n\cdot\sigma^2=\frac{n}{n + 1}\sigma^2\neq\sigma^2$
所以选项D不是$\sigma^2$的无偏估计量。