题目
半圆桶形闸门的上游水深_(1)=2m,下游水深_(1)=2m闸门的直径_(1)=2m闸门宽度=1 m,如图所示,要求:(1)绘出闸门上水平分力的压强分布图及垂直分力的压力体图,并标明方向; (2)计算闸门所受的静水总压力及其方向
半圆桶形闸门的上游水深
,下游水深
闸门的直径
闸门宽度=1 m,如图所示,要求:
(1)绘出闸门上水平分力的压强分布图及垂直分力的压力体图,并标明方向;
(2)计算闸门所受的静水总压力及其方向
题目解答
答案
1. 压强分布图
在半圆桶形闸门上游和下游的水深分别为 
闸门的直径
宽度为
压强分布图
压强 ( P ) 与水深 ( h ) 的关系为：
。
对于上游水深 
处的压强：
对于下游水深 
处的压强：
压强分布图应如下所示：
在上游
：压强从顶部向下线性增加，最大压强与
水深相关。
在下游
：压强同样从顶部向下线性增加，最大压强与
水深相关。
压强方向朝向闸门表面，向内施加。
2. 垂直分力的压力体图
垂直分力由水的重量产生，主要考虑上游和下游的水压作用：
上游的压强作用于闸门的下半部分，形成向上的力。
下游的压强也作用于闸门的下半部分，形成向下的力。
3. 静水总压力计算
静水总压力 ( F ) 可通过下列公式求得：
其中 ( dA ) 为微小的面积元素。
3.1 计算水深处的压强
在上游：
计算得：
在下游：
计算得：
4. 总静水压力
总静水压力 
为上游与下游压力之差：
5. 力的方向
总静水压力方向指向上游，因上游水深大于下游水深。
解析
步骤 1：绘制压强分布图
- 压强分布图表示了闸门上不同位置的压强大小。根据静水压强公式 $P = \rho gh$，其中 $\rho$ 是水的密度，$g$ 是重力加速度，$h$ 是水深。
- 对于上游水深 $H_1 = 2m$，压强从顶部向下线性增加，最大压强为 $P_1 = \rho g \cdot 2m$。
- 对于下游水深 $H_2 = 1m$，压强同样从顶部向下线性增加，最大压强为 $P_2 = \rho g \cdot 1m$。
- 压强方向朝向闸门表面，向内施加。
步骤 2：绘制垂直分力的压力体图
- 垂直分力由水的重量产生，主要考虑上游和下游的水压作用。
- 上游的压强作用于闸门的下半部分，形成向上的力。
- 下游的压强也作用于闸门的下半部分，形成向下的力。
步骤 3：计算静水总压力
- 静水总压力 $F$ 可通过下列公式求得：$F = \int_{0}^{D} P(y) dA$，其中 $dA$ 为微小的面积元素。
- 在上游：$F_1 = \int_{0}^{H_1} P_1(y) \cdot dA = \int_{0}^{2} (\rho g y) \cdot (1, dy) = \rho g \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = \rho g \cdot 2$
- 计算得：$F_1 = \rho g \cdot 2 \cdot 2 = 4 \rho g$
- 在下游：$F_2 = \int_{0}^{H_2} P_2(y) \cdot dA = \int_{0}^{1} (\rho g y) \cdot (1, dy) = \rho g \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \rho g \cdot \frac{1}{2}$
- 计算得：$F_2 = \rho g \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \rho g$
- 总静水压力 $F_{总} = F_1 - F_2 = 4 \rho g - \frac{1}{2} \rho g = (4 - \frac{1}{2}) \rho g = \frac{7}{2} \rho g$
- 力的方向指向上游，因上游水深大于下游水深。
- 压强分布图表示了闸门上不同位置的压强大小。根据静水压强公式 $P = \rho gh$，其中 $\rho$ 是水的密度，$g$ 是重力加速度，$h$ 是水深。
- 对于上游水深 $H_1 = 2m$，压强从顶部向下线性增加，最大压强为 $P_1 = \rho g \cdot 2m$。
- 对于下游水深 $H_2 = 1m$，压强同样从顶部向下线性增加，最大压强为 $P_2 = \rho g \cdot 1m$。
- 压强方向朝向闸门表面，向内施加。
步骤 2：绘制垂直分力的压力体图
- 垂直分力由水的重量产生，主要考虑上游和下游的水压作用。
- 上游的压强作用于闸门的下半部分，形成向上的力。
- 下游的压强也作用于闸门的下半部分，形成向下的力。
步骤 3：计算静水总压力
- 静水总压力 $F$ 可通过下列公式求得：$F = \int_{0}^{D} P(y) dA$，其中 $dA$ 为微小的面积元素。
- 在上游：$F_1 = \int_{0}^{H_1} P_1(y) \cdot dA = \int_{0}^{2} (\rho g y) \cdot (1, dy) = \rho g \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = \rho g \cdot 2$
- 计算得：$F_1 = \rho g \cdot 2 \cdot 2 = 4 \rho g$
- 在下游：$F_2 = \int_{0}^{H_2} P_2(y) \cdot dA = \int_{0}^{1} (\rho g y) \cdot (1, dy) = \rho g \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \rho g \cdot \frac{1}{2}$
- 计算得：$F_2 = \rho g \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \rho g$
- 总静水压力 $F_{总} = F_1 - F_2 = 4 \rho g - \frac{1}{2} \rho g = (4 - \frac{1}{2}) \rho g = \frac{7}{2} \rho g$
- 力的方向指向上游，因上游水深大于下游水深。