(12)已知f(x)的一个原函数为ln^2x,则 int xf'(x)dx= __

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及原函数与导数之间的关系。
解题思路：

1. 确定f(x)：已知f(x)的原函数为$\ln^2 x$，因此$f(x)$是$\ln^2 x$的导数。
2. 应用分部积分法：对$\int x f'(x) dx$使用分部积分公式，将积分转化为更易处理的形式。
3. 简化积分表达式：结合已知条件，逐步化简并求解最终结果。

步骤1：求f(x)

已知$f(x)$的原函数为$\ln^2 x$，因此：
$f(x) = \frac{d}{dx} (\ln^2 x) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}.$

步骤2：应用分部积分法

对$\int x f'(x) dx$使用分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，设：

• $u = x$，则$du = dx$；
• $dv = f'(x) dx$，则$v = f(x)$。

代入公式得：
$\int x f'(x) dx = x f(x) - \int f(x) dx.$

步骤3：代入f(x)并计算积分

将$f(x) = \frac{2 \ln x}{x}$代入：
$x f(x) = x \cdot \frac{2 \ln x}{x} = 2 \ln x.$
剩余积分$\int f(x) dx$为：
$\int \frac{2 \ln x}{x} dx = 2 \int \ln x \cdot \frac{1}{x} dx.$
令$u = \ln x$，则$du = \frac{1}{x} dx$，积分变为：
$2 \int u \, du = 2 \cdot \frac{u^2}{2} + C = (\ln x)^2 + C.$

步骤4：合并结果

将各部分合并：
$\int x f'(x) dx = 2 \ln x - (\ln x)^2 + C.$