题目
(5)(x^2+1)^2+4x(x^2+1)+4x^2
(5)$\left(x^{2}+1\right)^{2}+4x\left(x^{2}+1\right)+4x^{2}$
题目解答
答案
设 $a = x^2 + 1$，$b = 2x$，则原式可化为：
\[
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 = (x^2 + 1 + 2x)^2
\]
注意到 $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，故：
\[
(x^2 + 2x + 1)^2 = [(x + 1)^2]^2 = (x + 1)^4
\]
或展开原式：
\[
x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = (x + 1)^4
\]
因此，答案为：
\[
\boxed{(x + 1)^4}
\]
解析
考查要点：本题主要考查代数式的因式分解能力，特别是对完全平方公式的灵活运用。关键在于识别表达式中的结构特征，将其转化为标准的完全平方形式。
解题思路：观察题目中的三个项，发现它们可以构成$a^2 + 2ab + b^2$的形式。通过合理设元（如设$a = x^2 + 1$，$b = 2x$），将原式转化为完全平方公式，进而简化计算。
破题关键：
- 识别完全平方结构：观察到$4x(x^2 + 1)$可表示为$2 \cdot (x^2 + 1) \cdot 2x$，从而对应公式中的$2ab$项。
- 二次完全平方：将简化后的表达式进一步分解，利用$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，最终得到结果。
步骤1：设元简化表达式
设$a = x^2 + 1$，$b = 2x$，则原式可表示为：
$a^2 + 2ab + b^2$
步骤2：应用完全平方公式
根据公式$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$，代入$a$和$b$的表达式：
$(a + b)^2 = (x^2 + 1 + 2x)^2$
步骤3：进一步简化内部表达式
注意到$x^2 + 2x + 1$本身也是一个完全平方：
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
因此，原式可进一步化简为：
$[(x + 1)^2]^2 = (x + 1)^4$
验证（展开法）
若直接展开原式：
$\begin{aligned}&\ (x^2 + 1)^2 + 4x(x^2 + 1) + 4x^2 \\=&\ x^4 + 2x^2 + 1 + 4x^3 + 4x + 4x^2 \\=&\ x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \\=&\ (x + 1)^4\end{aligned}$