题目

在一个容积不变的容器中,储有一定量的理想气体,温度为 T_0 时,气体分子的平均速率为 bar(v)_0,分子平均碰撞次数为 bar(z)_0,平均自由程为 bar(lambda)_0。当气体温度升高为 4T_0 时,气体分子的平均速率为 bar(v),平均碰撞次数 bar(z) 和平均自由程 bar(lambda) 分别为[ ]A. bar(v) = 4bar(v)_0, bar(z) = 4bar(z)_0, bar(lambda) = 4bar(lambda)_0。B. bar(v) = 4bar(v)_0, bar(z) = 2bar(z)_0, bar(lambda) = bar(lambda)_0。C. bar(v) = 2bar(v)_0, bar(z) = 2bar(z)_0, bar(lambda) = 4bar(lambda)_0。D. bar(v) = 2bar(v)_0, bar(z) = 2bar(z)_0, bar(lambda) = bar(lambda)_0。

在一个容积不变的容器中,储有一定量的理想气体,温度为 $T_0$ 时,气体分子的平均速率为 $\bar{v}_0$,分子平均碰撞次数为 $\bar{z}_0$,平均自由程为 $\bar{\lambda}_0$。当气体温度升高为 $4T_0$ 时,气体分子的平均速率为 $\bar{v}$,平均碰撞次数 $\bar{z}$ 和平均自由程 $\bar{\lambda}$ 分别为[ ]

A. $\bar{v} = 4\bar{v}_0$, $\bar{z} = 4\bar{z}_0$, $\bar{\lambda} = 4\bar{\lambda}_0$。

B. $\bar{v} = 4\bar{v}_0$, $\bar{z} = 2\bar{z}_0$, $\bar{\lambda} = \bar{\lambda}_0$。

C. $\bar{v} = 2\bar{v}_0$, $\bar{z} = 2\bar{z}_0$, $\bar{\lambda} = 4\bar{\lambda}_0$。

D. $\bar{v} = 2\bar{v}_0$, $\bar{z} = 2\bar{z}_0$, $\bar{\lambda} = \bar{\lambda}_0$。

题目解答

答案

根据分子动理论： 1. 分子平均速率 $\bar{v} \propto \sqrt{T}$，故 $T = 4T_0$ 时，$\bar{v} = 2 \bar{v}_0$。 2. 平均自由程 $\bar{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$，因 $n$ 和 $d$ 不变，故 $\bar{\lambda} = \bar{\lambda}_0$。 3. 平均碰撞次数 $\bar{z} = \sqrt{2} \pi d^2 n \bar{v}$，$\bar{v}$ 增加 2 倍，故 $\bar{z} = 2 \bar{z}_0$。 综上，$\bar{v} = 2 \bar{v}_0$，$\bar{z} = 2 \bar{z}_0$，$\bar{\lambda} = \bar{\lambda}_0$。 答案：D. $\bar{v} = 2 \bar{v}_0$，$\bar{z} = 2 \bar{z}_0$，$\bar{\lambda} = \bar{\lambda}_0$。

解析

本题考查理想气体分子动理论中分子平均速率、平均碰撞次数和平均自由程与温度的关系。解题思路是根据相关公式，分别分析温度变化时这三个物理量的变化情况。

  1. 分析分子平均速率 $\bar{v}$ 的变化：
    • 理想气体分子的平均速率公式为 $\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$，其中 $R$ 是普适气体常量，$T$ 是热力学温度，$M$ 是气体的摩尔质量。由此可知，分子平均速率 $\bar{v}$ 与 $\sqrt{T}$ 成正比，即 $\bar{v} \propto \sqrt{T}$。
    • 设初始温度为 $T_0$ 时，分子平均速率为 $\bar{v}_0$；当温度升高为 $T = 4T_0$ 时，分子平均速率为 $\bar{v}$。根据比例关系可得：$\frac{\bar{v}}{\bar{v}_0}=\sqrt{\frac{T}{T_0}}$。
    • 将 $T = 4T_0$ 代入上式，得到 $\frac{\bar{v}}{\bar{v}_0}=\sqrt{\frac{4T_0}{T_0}} = 2$，所以 $\bar{v} = 2\bar{v}_0$。
  2. 分析平均自由程 $\bar{\lambda}$ 的变化：
    • 平均自由程的公式为 $\bar{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$，其中 $d$ 是分子的有效直径，$n$ 是分子数密度。
    • 因为容器容积不变，气体质量不变，所以分子数密度 $n$ 不变，分子的有效直径 $d$ 也不变。
    • 那么平均自由程 $\bar{\lambda}$ 保持不变，即 $\bar{\lambda} = \bar{\lambda}_0$。
  3. 分析平均碰撞次数 $\bar{z}$ 的变化：
    • 平均碰撞次数的公式为 $\bar{z} = \sqrt{2} \pi d^2 n \bar{v}$。
    • 由前面分析可知，$d$ 和 $n$ 不变，而 $\bar{v}$ 变为原来的 2 倍，即 $\bar{v} = 2\bar{v}_0$。
    • 所以平均碰撞次数 $\bar{z}$ 也变为原来的 2 倍，即 $\bar{z} = 2\bar{z}_0$。