题目
1.质点P在椭圆(x^2)/(9)+(y^2)/(4)=1上每一点M(x,y)都受作用力vec(F)，其大小等于从点M到原点距离的倒数，其方向为vec(l)=-yvec(i)+xvec(j)，求质点P沿椭圆顺时针运动一周时，力vec(F)所做的功.
1.质点P在椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$上每一点M(x,y)都受作用力$\vec{F}$，其大小等于从点M到原点距离的倒数，其方向为$\vec{l}=-y\vec{i}+x\vec{j}$，求质点P沿椭圆顺时针运动一周时，力$\vec{F}$所做的功.
题目解答
答案
将力 $\vec{F}$ 表示为 $\vec{F} = \left( -\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right)$。
使用椭圆参数方程 $x = 3\cos t$，$y = 2\sin t$（$t$ 从 $2\pi$ 到 $0$），则
\[
\vec{F} = \left( -\frac{2\sin t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t}, \frac{3\cos t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} \right),
\]
\[
dx = -3\sin t \, dt, \quad dy = 2\cos t \, dt.
\]
计算线积分
\[
W = \int_{2\pi}^0 \left( \frac{6\sin^2 t + 6\cos^2 t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} \right) dt = -\int_0^{2\pi} \frac{6}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} dt.
\]
利用对称性和已知结果，得
\[
W = -2\pi.
\]
**答案：** $\boxed{-2\pi}$
解析
步骤 1：确定力 $\vec{F}$ 的表达式
根据题意，力 $\vec{F}$ 的大小等于从点M到原点距离的倒数，即 $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$，其方向为 $\vec{l} = -y\vec{i} + x\vec{j}$。因此，力 $\vec{F}$ 可以表示为：
\[ \vec{F} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot (-y\vec{i} + x\vec{j}) = \left( -\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right). \]
步骤 2：使用椭圆参数方程
椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 的参数方程为 $x = 3\cos t$，$y = 2\sin t$，其中 $t$ 从 $2\pi$ 到 $0$。因此，力 $\vec{F}$ 可以表示为：
\[ \vec{F} = \left( -\frac{2\sin t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t}, \frac{3\cos t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} \right). \]
同时，$dx = -3\sin t \, dt$，$dy = 2\cos t \, dt$。
步骤 3：计算线积分
质点P沿椭圆顺时针运动一周时，力 $\vec{F}$ 所做的功 $W$ 可以表示为：
\[ W = \int_{2\pi}^0 \left( -\frac{2\sin t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} \cdot (-3\sin t) + \frac{3\cos t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} \cdot 2\cos t \right) dt. \]
化简得：
\[ W = \int_{2\pi}^0 \frac{6\sin^2 t + 6\cos^2 t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} dt = -\int_0^{2\pi} \frac{6}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} dt. \]
利用对称性和已知结果，得：
\[ W = -2\pi. \]
根据题意，力 $\vec{F}$ 的大小等于从点M到原点距离的倒数，即 $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$，其方向为 $\vec{l} = -y\vec{i} + x\vec{j}$。因此，力 $\vec{F}$ 可以表示为：
\[ \vec{F} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot (-y\vec{i} + x\vec{j}) = \left( -\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right). \]
步骤 2：使用椭圆参数方程
椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 的参数方程为 $x = 3\cos t$，$y = 2\sin t$，其中 $t$ 从 $2\pi$ 到 $0$。因此，力 $\vec{F}$ 可以表示为：
\[ \vec{F} = \left( -\frac{2\sin t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t}, \frac{3\cos t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} \right). \]
同时，$dx = -3\sin t \, dt$，$dy = 2\cos t \, dt$。
步骤 3：计算线积分
质点P沿椭圆顺时针运动一周时，力 $\vec{F}$ 所做的功 $W$ 可以表示为：
\[ W = \int_{2\pi}^0 \left( -\frac{2\sin t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} \cdot (-3\sin t) + \frac{3\cos t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} \cdot 2\cos t \right) dt. \]
化简得：
\[ W = \int_{2\pi}^0 \frac{6\sin^2 t + 6\cos^2 t}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} dt = -\int_0^{2\pi} \frac{6}{9\cos^2 t + 4\sin^2 t} dt. \]
利用对称性和已知结果，得：
\[ W = -2\pi. \]