题目

6-38 设想电子是球形的,其静止能量 _(0)(c)^2 来自于它的静电能量.电子电-|||-荷不同的分布模型会得出不同的电子半径,现分别假设(1)电子电荷均匀分布-|||-在球面上,(2)电子电荷均匀分布在球体内,试估算电子的半径.

题目解答

答案

解析

本题考察静电场能量与电子静止能量的关系，通过通过假设电子电荷不同分布模型（球面均匀分布、球体内均匀分布），计算电场能量并令其等于静止能量，从而估算电子电子半径。

关键思路

电子静止能量 $m_0c^2$ 等于其静电场能量，需分两种两种电荷分布计算电场能量：

  1. 电场能量公式：$W_e = \int \iiint \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 dV$，其中 $E$ 为电场强度，\(2)中需分球内、外积分。 2. **高斯定理求电场**：根据电荷分布，用高斯定理求球内、内外 $E$ 的表达式。
  2. 能量等于静止能量：令电场能量 $W_e = m_0c^2$，解出 $R$。

详细计算

(1) 电荷均匀分布在球面上

  • 电场分布：
  • 球内（$r < R$）：$E_1 = 0$（高斯面电荷内部无电场）
  • 球外（$r \geq R$）：$E_2 = \frac{e}{4\pi\varepsilon_0 r^2}{}$（高斯定理）

电场能量：仅球外有能量
[

$W_e = \int_R^\infty \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left( \frac{e}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \right)^2 4\pi r^2 dr$
化简：
$W_e = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$

令 $W_e = m_0c^2$：
$R = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 m_0c^2} \approx 1.41 \times 10^{-15 \, \text{m}$

(2) 电荷均匀分布在球体内

电荷密度：$\rho = \frac{e}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

电场分布：

  • 球内（$r < R$：$E_1 = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0} = \frac{e r}{4\pi\varepsilon_0 R^3}{}$（高斯定理）
  • 球外（$r \geq R$）：同球面分布 $E_2 = \frac{e}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$

电场能量：球内、外积分之和
$W_e = \int_0^R \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left( \frac{e r}{4\pi\varepsilon_0 R^3} \right)^2 4\pi r^2 dr + \int_R^\infty \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$
化简：
$W_e = \frac{e^2}{40\pi\varepsilon_0 R} + \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 R} = \frac{3e^2}{20\pi\varepsilon_0 R}$

令 $W_e = m_0c^2$：
$R = \frac{3e^2}{20\pi\varepsilon_0 m_0c^2} \approx 1.69 \times 10^{-15} \, \text{m}$