氢原子处在基态 psi(r,theta,varphi)=(1)/(sqrt(pi a_0^3))e^-(r)/(a_0)，求：(1) r 的期望值；(2) 势能 -(e^2)/(r) 的期望值；(3) 最概然的半径；(4) 动能的期望值；(5) 动量的概率分布函数。

本题主要考查量子力学中氢原子基态的相关物理量的计算，涉及到期望值、最概然半径以及动量概率分布函数的求解。解题的关键在于利用量子力学的基本公式和积分运算。

(1) 求 $r$ 的期望值 $\langle r \rangle$

根据期望值的定义，$\langle r \rangle=\int \psi^*(r,\theta,\varphi)r\psi(r,\theta,\varphi)d^3r$，其中 $d^3r = r^2\sin\theta drd\theta d\varphi$。
已知氢原子基态波函数 $\psi(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-\frac{r}{a_0}}$，由于波函数是实函数，$\psi^*=\psi$。
则 $\langle r \rangle=\frac{1}{\pi a_0^3}\int_{0}^{\infty}r^3e^{-\frac{2r}{a_0}}dr\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta\int_{0}^{2\pi}d\varphi$。

• 先计算角度部分的积分：
  • $\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta=-\cos\theta\big|_{0}^{\pi}=-( \cos\pi - \cos0)=-(-1 - 1)=2$。
  • $\int_{0}^{2\pi}d\varphi=\varphi\big|_{0}^{2\pi}=2\pi$。
• 再计算径向部分的积分，利用积分公式 $\int_{0}^{\infty}x^n e^{-ax}dx=\frac{n!}{a^{n + 1}}$（$n = 3$，$a=\frac{2}{a_0}$），可得 $\int_{0}^{\infty}r^3e^{-\frac{2r}{a_0}}dr=\frac{3!}{(\frac{2}{a_0})^{3 + 1}}=\frac{6a_0^4}{16}=\frac{3a_0^4}{8}$。
• 最后将角度和径向积分结果代入 $\langle r \rangle$ 的表达式：
  $\langle r \rangle=\frac{1}{\pi a_0^3}\times\frac{3a_0^4}{8}\times2\times2\pi=\frac{3}{2}a_0$。

(2) 求势能 $-\frac{e^2}{r}$ 的期望值 $\langle V \rangle$

根据期望值定义 $\langle V \rangle=\int \psi^*(r,\theta,\varphi)(-\frac{e^2}{r})\psi(r,\theta,\varphi)d^3r$。
同样，$\langle V \rangle=-\frac{e^2}{\pi a_0^3}\int_{0}^{\infty}r^2e^{-\frac{2r}{a_0}}dr\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta\int_{0}^{2\pi}d\varphi$。

• 角度部分积分结果同(1)，为 $2\times2\pi = 4\pi$。
• 计算径向部分积分，利用积分公式 $\int_{0}^{\infty}x^n e^{-ax}dx=\frac{n!}{a^{n + 1}}$（$n = 2$，$a=\frac{2}{a_0}$），可得 $\int_{0}^{\infty}r^2e^{-\frac{2r}{a_0}}dr=\frac{2!}{(\frac{2}{a_0})^{2 + 1}}=\frac{2a_0^3}{8}=\frac{a_0^3}{4}$。
• 将角度和径向积分结果代入 $\langle V \rangle$ 的表达式：
  $\langle V \rangle=-\frac{e^2}{\pi a_0^3}\times\frac{a_0^3}{4}\times4\pi=-\frac{e^2}{a_0}$。

(3) 求最概然的半径 $r_{\text{mp}}$

概率密度函数 $P(r)=r^2|\psi(r,\theta,\varphi)|^2=\frac{r^2}{\pi a_0^3}e^{-\frac{2r}{a_0}}$。
对 $P(r)$ 求导并令其导数为 0，即 $\frac{dP(r)}{dr}=0$。
$\frac{dP(r)}{dr}=\frac{1}{\pi a_0^3}(2re^{-\frac{2r}{a_0}}-\frac{2r^2}{a_0}e^{-\frac{2r}{a_0}})=0$。
提取公因式 $\frac{2r}{\pi a_0^3}e^{-\frac{2r}{a_0}}(1 - \frac{r}{a_0}) = 0$。
因为 $r = 0$ 时概率为 0，所以 $1 - \frac{r}{a_0}=0$，解得 $r_{\text{mp}} = a_0$。

(4) 求动能的期望值 $\langle T \rangle$

根据维里定理，对于氢原子，$\langle T \rangle=-\frac{1}{2}\langle V \rangle$。
已知 $\langle V \rangle=-\frac{e^2}{a_0}$，则 $\langle T \rangle=-\frac{1}{2}\times(-\frac{e^2}{a_0})=\frac{e^2}{2a_0}$。

(5) 求动量的概率分布函数 $P(p)$

利用傅里叶变换，动量空间波函数 $\phi(p)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{\frac{3}{2}}}\int \psi(r)e^{-\frac{i\vec{p}\cdot\vec{r}}{\hbar}}d^3r$。
由于氢原子基态波函数具有球对称性，$\vec{p}\cdot\vec{r}=pr\cos\theta$，则 $\phi(p)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty}r^2dr\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta\int_{0}^{2\pi}d\varphi\psi(r)e^{-\frac{ipr\cos\theta}{\hbar}}$。

• 先计算角度部分积分：
  $\int_{0}^{\pi}\sin\theta e^{-\frac{ipr\cos\theta}{\hbar}}d\theta=\frac{\hbar}{ipr}(e^{\frac{ipr}{\hbar}}-e^{-\frac{ipr}{\hbar}})=\frac{2\hbar}{pr}\sin(\frac{pr}{\hbar})$。
  $\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi$。
• 再计算径向部分积分：
  $\phi(p)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{\frac{3}{2}}}\times2\pi\times\frac{2\hbar}{p}\int_{0}^{\infty}r\sin(\frac{pr}{\hbar})e^{-\frac{r}{a_0}}dr$。
  利用积分公式 $\int_{0}^{\infty}x\sin(bx)e^{-ax}dx=\frac{2ab}{(a^2 + b^2)^2}$（$a=\frac{1}{a_0}$，$b=\frac{p}{\hbar}$），可得 $\int_{0}^{\infty}r\sin(\frac{pr}{\hbar})e^{-\frac{r}{a_0}}dr=\frac{2\times\frac{1}{a_0}\times\frac{p}{\hbar}}{(\frac{1}{a_0^2}+\frac{p^2}{\hbar^2})^2}$。
  则 $\phi(p)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{\frac{3}{2}}}\times2\pi\times\frac{2\hbar}{p}\times\frac{2\times\frac{1}{a_0}\times\frac{p}{\hbar}}{(\frac{1}{a_0^2}+\frac{p^2}{\hbar^2})^2}=\frac{4a_0\hbar}{\pi^{\frac{1}{2}}(\frac{a_0^2p^2}{\hbar^2}+1)^2}$。
• 动量概率分布函数 $P(p)=|\phi(p)|^2=\frac{8 a_0 \hbar}{\pi \left( \frac{a_0^2 p^2}{\hbar^2} + 1 \right)^4}$。