题目

9. 真空中自由落体运动距离s与时间t的关系由公式s=(1)/(2)gt^2确定，g是重力加速度.假设g是准确的，而对t的测量有±0.1s的误差.证明：t增加时，距离的绝对误差增加而相对误差减小.

9. 真空中自由落体运动距离s与时间t的关系由公式$s=\frac{1}{2}gt^{2}$确定，g是重力加速度.假设g是准确的，而对t的测量有±0.1s的误差.证明：t增加时，距离的绝对误差增加而相对误差减小.

题目解答

答案

根据题目，自由落体运动的距离公式为 $ s = \frac{1}{2}gt^2 $。对 $ t $ 的测量存在 $ \pm 0.1 \, \text{s} $ 的误差，即 $ dt = \pm 0.1 \, \text{s} $。
首先，计算距离 $ s $ 的微分：
$ds = d\left( \frac{1}{2}gt^2 \right) = gt \, dt$
绝对误差 $ \Delta s $ 与 $ ds $ 成正比，即 $ \Delta s \propto t $。因此，当 $ t $ 增大时，绝对误差 $ \Delta s $ 随 $ t $ 线性增大。

其次，计算相对误差：
$\frac{\Delta s}{s} = \frac{gt \, dt}{\frac{1}{2}gt^2} = \frac{2dt}{t}$
显然，相对误差 $ \frac{\Delta s}{s} $ 与 $ \frac{1}{t} $ 成正比。当 $ t $ 增大时，相对误差 $ \frac{\Delta s}{s} $ 随 $ t $ 的增大而减小。

综上，当 $ t $ 增加时，距离的绝对误差 $ \Delta s $ 增加，而相对误差 $ \frac{\Delta s}{s} $ 减小。

结论：
$t$ 增加时，距离的绝对误差增加，相对误差减小。

解析

本题考查利用微分来分析自由落体运动中距离的绝对误差和相对误差随时间的变化情况。解题思路是先根据距离公式求出距离的微分，以此得到绝对误差的表达式，分析其随时间的变化规律；再通过绝对误差与距离的比值得到相对误差的表达式，分析其随时间的变化规律。

  1. 计算距离的微分：
    已知自由落体运动距离公式为$s = \frac{1}{2}gt^2$，对$s$关于$t$求微分，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
    $ds = d(\frac{1}{2}gt^2)=\frac{1}{2}g\cdot 2t\,dt=gt\,dt$
    因为对$t$的测量有$\pm0.1s$的误差，即$dt = \pm 0.1s$，所以绝对误差$\Delta s$与$ds$近似相等，$\Delta s\approx ds = gt\,dt$。
    由于$g$和$dt$为常数，$\Delta s$与$t$成正比，所以当$t$增加时，绝对误差$\Delta s$会随着$t$的增大而线性增加。
  2. 计算相对误差：
    相对误差的定义为绝对误差与测量值的比值，即$\frac{\Delta s}{s}$。
    将$\Delta s\approx ds = gt\,dt$和$s = \frac{1}{2}gt^2$代入相对误差公式可得：
    $\frac{\Delta s}{s}=\frac{gt\,dt}{\frac{1}{2}gt^2}$
    对其进行化简，分子分母同时约去$gt$，得到$\frac{\Delta s}{s}=\frac{2dt}{t}$。
    因为$dt$为常数，所以相对误差$\frac{\Delta s}{s}$与$\frac{1}{t}$成正比，当$t$增加时，$\frac{1}{t}$减小，那么相对误差$\frac{\Delta s}{s}$会随着$t$的增大而减小。