在图示机构中，沿斜面纯滚动圆柱体O’和鼓轮O为均质物体，质量均为m，半径均为R，绳子不能伸缩，其质量略去不计。粗糙斜面的倾角为θ,不计滚阻力偶。如在鼓轮上作用一常力偶M，求：（1）鼓轮的角加速度；（2）轴承O的水平约束力

考查要点：本题主要考查动能定理和刚体定轴转动微分方程的应用，同时涉及纯滚动条件下平移与转动的关联以及受力分析。

解题核心思路：

1. 动能定理：通过系统动能的变化等于外力做功，建立方程求解角加速度。
2. 刚体转动微分方程：对鼓轮进行受力分析，结合质心运动定理，联立求解约束力。

破题关键点：

• 纯滚动条件：圆柱体的平移速度与转动速度满足 $v = R\omega$。
• 动能分解：系统动能包含圆柱体的平移动能、转动动能和鼓轮的转动动能。
• 受力分析：明确鼓轮受力（张力、轴承力、力偶）并建立力矩平衡方程。

第（1）题：鼓轮的角加速度

系统动能分析

• 圆柱体动能：平移动能 $\frac{1}{2}mv^2$，转动动能 $\frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}mR^2 \cdot \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{4}mv^2$，总动能为 $\frac{3}{4}mv^2$。
• 鼓轮动能：转动动能 $\frac{1}{2}I\omega_O^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}mR^2 \cdot \alpha^2$（需用角加速度 $\alpha$ 表示）。

外力做功

• 力偶 $M$ 做功 $M\theta$（$\theta$ 为鼓轮转过的角度）。

应用动能定理

初始动能为 $0$，运动后动能为系统总动能，外力做功等于动能增量：
$M\theta = \frac{3}{4}mv^2 + \frac{1}{4}mR^2\alpha^2$
结合纯滚动条件 $v = R\alpha$，联立解得 $\alpha = \frac{4M}{3mR^2}$。

第（2）题：轴承O的水平约束力

受力分析

• 鼓轮受张力 $T$、力偶 $M$、轴承力 $F_x$。
• 质心运动定理：水平方向 $\sum F_x = ma_{\text{质心}}$，即 $T - F_x = m a$，其中 $a = R\alpha$。
• 转动微分方程：$\sum M_O = I\alpha$，即 $M - TR = \frac{1}{2}mR^2\alpha$。

联立方程

由转动方程得 $T = \frac{M}{R} - \frac{1}{2}m\alpha$，代入质心方程：
$F_x = T - mR\alpha = \frac{M}{R} - \frac{3}{2}m\alpha$
将 $\alpha = \frac{4M}{3mR^2}$ 代入，最终得 $F_x = \frac{M}{R} - \frac{2M}{R} = -\frac{M}{R}$。