题目
过点（0,2,4）且与平面 x+2z=1 和 y-3z=2 都平行的直线方程是().A. {x=(z-4)/(2) y=z.C. (x)/(-2)=(y-2)/(3)=(z-4)/(1)D. -2x+3(y-2)+z-4=0
过点（0,2,4）且与平面 $x+2z=1$ 和 $y-3z=2$ 都平行的直线方程是().
A. $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{z-4}{2} \\ y=z\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l}y-2=\frac{z-4}{-3} \\ x=0\end{array}\right.$
C. $\frac{x}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{1}$
D. $-2x+3(y-2)+z-4=0$
题目解答
答案
C. $\frac{x}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{1}$
解析
步骤 1：确定平面的法向量
平面 $x + 2z = 1$ 的法向量为 $\mathbf{n_1} = (1, 0, 2)$，平面 $y - 3z = 2$ 的法向量为 $\mathbf{n_2} = (0, 1, -3)$。
步骤 2：计算直线的方向向量
直线与两平面平行，其方向向量 $\mathbf{d}$ 为 $\mathbf{n_1}$ 和 $\mathbf{n_2}$ 的叉积： \[ \mathbf{d} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = (-2, 3, 1) \]
步骤 3：写出直线方程
过点 $(0, 2, 4)$ 的直线方程为： \[ \frac{x - 0}{-2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 4}{1} \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{-2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 4}{1} \]
平面 $x + 2z = 1$ 的法向量为 $\mathbf{n_1} = (1, 0, 2)$，平面 $y - 3z = 2$ 的法向量为 $\mathbf{n_2} = (0, 1, -3)$。
步骤 2：计算直线的方向向量
直线与两平面平行，其方向向量 $\mathbf{d}$ 为 $\mathbf{n_1}$ 和 $\mathbf{n_2}$ 的叉积： \[ \mathbf{d} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = (-2, 3, 1) \]
步骤 3：写出直线方程
过点 $(0, 2, 4)$ 的直线方程为： \[ \frac{x - 0}{-2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 4}{1} \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{-2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 4}{1} \]