题目
一简谐振动振幅A，则振动动能为能量最大值一半时，振动物体位置x等于（ ）A.dfrac(sqrt(2)A)(2)B.dfrac(sqrt(3)A)(2)C.AD.dfrac(A)(2)
一简谐振动振幅A，则振动动能为能量最大值一半时，振动物体位置x等于（ ）
A.$\dfrac{\sqrt{2}A}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}A}{2}$
C.A
D.$\dfrac{A}{2}$
题目解答
答案
A.
【需要说明的问题】
该题目题干中“振动动能为能量最大值的一半时”的表述不准确，没有表述清楚“能量最大值是指什么”，是指振子的能量？还是其他能量？故以上解析仅为默认为是振子的能量时所做的解析，该表述需要完善。
解析
步骤 1：确定简谐振动的能量
简谐振动的总能量E是动能和势能之和。在简谐振动中，总能量E是常数，且等于最大势能或最大动能。对于振幅为A的简谐振动，最大势能和最大动能都等于$\dfrac{1}{2}kA^2$，其中k是弹簧的劲度系数。因此，总能量E为$\dfrac{1}{2}kA^2$。
步骤 2：确定动能为能量最大值一半时的条件
题目中提到“振动动能为能量最大值的一半时”，即动能为$\dfrac{1}{2}E$。由于总能量E为$\dfrac{1}{2}kA^2$，动能为$\dfrac{1}{2}E$即为$\dfrac{1}{4}kA^2$。
步骤 3：计算动能为$\dfrac{1}{4}kA^2$时的位置x
简谐振动的动能表达式为$\dfrac{1}{2}mv^2$，其中m是振动物体的质量，v是振动物体的速度。简谐振动的速度v与位置x的关系为$v=\omega\sqrt{A^2-x^2}$，其中$\omega$是角频率。因此，动能可以表示为$\dfrac{1}{2}m\omega^2(A^2-x^2)$。将动能$\dfrac{1}{4}kA^2$代入，得到$\dfrac{1}{2}m\omega^2(A^2-x^2)=\dfrac{1}{4}kA^2$。由于$k=m\omega^2$，可以简化为$\dfrac{1}{2}(A^2-x^2)=\dfrac{1}{4}A^2$。解这个方程，得到$x^2=\dfrac{1}{2}A^2$，即$x=\dfrac{\sqrt{2}A}{2}$。
简谐振动的总能量E是动能和势能之和。在简谐振动中，总能量E是常数，且等于最大势能或最大动能。对于振幅为A的简谐振动，最大势能和最大动能都等于$\dfrac{1}{2}kA^2$，其中k是弹簧的劲度系数。因此，总能量E为$\dfrac{1}{2}kA^2$。
步骤 2：确定动能为能量最大值一半时的条件
题目中提到“振动动能为能量最大值的一半时”，即动能为$\dfrac{1}{2}E$。由于总能量E为$\dfrac{1}{2}kA^2$，动能为$\dfrac{1}{2}E$即为$\dfrac{1}{4}kA^2$。
步骤 3：计算动能为$\dfrac{1}{4}kA^2$时的位置x
简谐振动的动能表达式为$\dfrac{1}{2}mv^2$，其中m是振动物体的质量，v是振动物体的速度。简谐振动的速度v与位置x的关系为$v=\omega\sqrt{A^2-x^2}$，其中$\omega$是角频率。因此，动能可以表示为$\dfrac{1}{2}m\omega^2(A^2-x^2)$。将动能$\dfrac{1}{4}kA^2$代入，得到$\dfrac{1}{2}m\omega^2(A^2-x^2)=\dfrac{1}{4}kA^2$。由于$k=m\omega^2$，可以简化为$\dfrac{1}{2}(A^2-x^2)=\dfrac{1}{4}A^2$。解这个方程，得到$x^2=\dfrac{1}{2}A^2$，即$x=\dfrac{\sqrt{2}A}{2}$。