题目
一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，其上均匀绕有匝线圈，线圈中通有电流。试求：(1)环内距轴线远处的磁感应强度；(2)通过螺线管截面的磁通量。
一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，其上均匀绕有
匝线圈，线圈中通有电流
。试求：
(1)环内距轴线
远处的磁感应强度；
(2)通过螺线管截面的磁通量。
题目解答
答案
解:由题意得已知条件如下：
螺线管均匀绕有匝线圈；线圈中通有电流；线圈外径
，线圈内径
，线圈厚
（1）与螺线管共轴的圆周上各点磁感应强度
及大小相等，方向沿圆周切线。
根据安培环路定理，可得：
解得：
故环内距轴线远处的磁感应强度
（2）根据磁通量公式：
可得：
根据以上计算可知，通过螺线管截面的磁通量
解析
步骤 1：确定磁感应强度的计算方法
根据安培环路定理，对于一个均匀绕有线圈的空心环形螺线管，其内部的磁感应强度可以通过以下公式计算：
$B=\dfrac {{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$
其中，$B$是磁感应强度，${\mu }_{0}$是真空磁导率，$N$是线圈的匝数，$I$是线圈中的电流，$r$是距轴线的距离。
步骤 2：计算磁通量
磁通量可以通过磁感应强度与面积的积分来计算。对于空心环形螺线管，磁通量可以通过以下公式计算：
${\Phi }_{m}=\int B\cdot dS$
其中，$B$是磁感应强度，$dS$是面积微元。由于磁感应强度在环形螺线管内部是径向分布的，因此可以将面积微元表示为$dr\cdot h$，其中$dr$是径向距离微元，$h$是螺线管的高度。因此，磁通量可以表示为：
${\Phi }_{m}=\int_{\frac{d_2}{2}}^{\frac{d_1}{2}} B\cdot h\cdot dr$
将磁感应强度的表达式代入上式，得到：
${\Phi }_{m}=\int_{\frac{d_2}{2}}^{\frac{d_1}{2}} \dfrac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}\cdot h\cdot dr$
步骤 3：计算磁通量的积分
将上式中的积分计算出来，得到：
${\Phi }_{m}=\dfrac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\int_{\frac{d_2}{2}}^{\frac{d_1}{2}} \dfrac{dr}{r}$
${\Phi }_{m}=\dfrac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\ln r|_{\frac{d_2}{2}}^{\frac{d_1}{2}}$
${\Phi }_{m}=\dfrac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\ln \dfrac{\frac{d_1}{2}}{\frac{d_2}{2}}$
${\Phi }_{m}=\dfrac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\ln \dfrac{d_1}{d_2}$
根据安培环路定理，对于一个均匀绕有线圈的空心环形螺线管，其内部的磁感应强度可以通过以下公式计算：
$B=\dfrac {{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$
其中，$B$是磁感应强度，${\mu }_{0}$是真空磁导率，$N$是线圈的匝数，$I$是线圈中的电流，$r$是距轴线的距离。
步骤 2：计算磁通量
磁通量可以通过磁感应强度与面积的积分来计算。对于空心环形螺线管，磁通量可以通过以下公式计算：
${\Phi }_{m}=\int B\cdot dS$
其中，$B$是磁感应强度，$dS$是面积微元。由于磁感应强度在环形螺线管内部是径向分布的，因此可以将面积微元表示为$dr\cdot h$，其中$dr$是径向距离微元，$h$是螺线管的高度。因此，磁通量可以表示为：
${\Phi }_{m}=\int_{\frac{d_2}{2}}^{\frac{d_1}{2}} B\cdot h\cdot dr$
将磁感应强度的表达式代入上式，得到：
${\Phi }_{m}=\int_{\frac{d_2}{2}}^{\frac{d_1}{2}} \dfrac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}\cdot h\cdot dr$
步骤 3：计算磁通量的积分
将上式中的积分计算出来，得到：
${\Phi }_{m}=\dfrac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\int_{\frac{d_2}{2}}^{\frac{d_1}{2}} \dfrac{dr}{r}$
${\Phi }_{m}=\dfrac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\ln r|_{\frac{d_2}{2}}^{\frac{d_1}{2}}$
${\Phi }_{m}=\dfrac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\ln \dfrac{\frac{d_1}{2}}{\frac{d_2}{2}}$
${\Phi }_{m}=\dfrac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\ln \dfrac{d_1}{d_2}$