题目
10-15 图示为平面简谐波在 t=0 时刻的波形图,设此简谐波的频率为250 Hz,且此时-|||-图中点P的运动方向向上.求:(1)该波的波动方程;(2)在距原点7.5m处质点的运动方程-|||-与 t=0 刻时该点的振动速度.-|||-y/m4-|||-0.10-|||-0.05 P-|||--0.05| 10.0m x/m-|||--0.10-|||-习题 10-15 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波的参数
根据题目，波的频率为250 Hz，因此波的角频率 $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 250 = 500\pi$ rad/s。波长 $\lambda = 10$ m，因此波速 $v = \lambda f = 10 \times 250 = 2500$ m/s。波的周期 $T = 1/f = 1/250$ s。
步骤 2：确定波动方程
波动方程的一般形式为 $y(x,t) = A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中 $A$ 是振幅，$k = 2\pi/\lambda$ 是波数，$\phi$ 是初相位。根据图示，振幅 $A = 0.10$ m，波数 $k = 2\pi/\lambda = 2\pi/10 = \pi/5$ rad/m。由于点P在t=0时刻的运动方向向上，说明在t=0时，波形在点P处的斜率为正，因此初相位 $\phi = \pi/3$。因此波动方程为 $y(x,t) = 0.10\cos(500\pi t - \pi x/5 + \pi/3)$。
步骤 3：确定质点的运动方程
在距原点7.5m处的质点的运动方程为 $y(7.5,t) = 0.10\cos(500\pi t - \pi \times 7.5/5 + \pi/3) = 0.10\cos(500\pi t - 1.5\pi + \pi/3) = 0.10\cos(500\pi t - 13\pi/12)$。
步骤 4：计算t=0时刻的振动速度
振动速度 $v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -0.10 \times 500\pi \sin(500\pi t - 13\pi/12)$。在t=0时刻，$v_y(0) = -0.10 \times 500\pi \sin(-13\pi/12) = 40.6$ m/s。
根据题目，波的频率为250 Hz，因此波的角频率 $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 250 = 500\pi$ rad/s。波长 $\lambda = 10$ m，因此波速 $v = \lambda f = 10 \times 250 = 2500$ m/s。波的周期 $T = 1/f = 1/250$ s。
步骤 2：确定波动方程
波动方程的一般形式为 $y(x,t) = A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中 $A$ 是振幅，$k = 2\pi/\lambda$ 是波数，$\phi$ 是初相位。根据图示，振幅 $A = 0.10$ m，波数 $k = 2\pi/\lambda = 2\pi/10 = \pi/5$ rad/m。由于点P在t=0时刻的运动方向向上，说明在t=0时，波形在点P处的斜率为正，因此初相位 $\phi = \pi/3$。因此波动方程为 $y(x,t) = 0.10\cos(500\pi t - \pi x/5 + \pi/3)$。
步骤 3：确定质点的运动方程
在距原点7.5m处的质点的运动方程为 $y(7.5,t) = 0.10\cos(500\pi t - \pi \times 7.5/5 + \pi/3) = 0.10\cos(500\pi t - 1.5\pi + \pi/3) = 0.10\cos(500\pi t - 13\pi/12)$。
步骤 4：计算t=0时刻的振动速度
振动速度 $v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -0.10 \times 500\pi \sin(500\pi t - 13\pi/12)$。在t=0时刻，$v_y(0) = -0.10 \times 500\pi \sin(-13\pi/12) = 40.6$ m/s。