在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中，当用已知波长为589.3nm的钠黄光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为(Delta )_(1)=4times (10)^-3m；而当用未知单色光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为(Delta )_(1)=4times (10)^-3m，求未知单色光的波长。

步骤 1：牛顿环的暗环条件
牛顿环实验中，暗环的条件是光程差为半波长的整数倍，即：
\[2R\Delta r = (m + \frac{1}{2})\lambda\]
其中，$R$是平凸透镜的曲率半径，$\Delta r$是暗环半径，$m$是暗环序号，$\lambda$是光波长。

步骤 2：计算暗环间距
对于第一和第四暗环，暗环间距$\Delta r$与暗环序号$m$的关系为：
\[\Delta r = \sqrt{\frac{(m + \frac{1}{2})\lambda R}{2}}\]
因此，第一和第四暗环间距$\Delta$为：
\[\Delta = \Delta r_4 - \Delta r_1 = \sqrt{\frac{(4 + \frac{1}{2})\lambda R}{2}} - \sqrt{\frac{(1 + \frac{1}{2})\lambda R}{2}}\]

步骤 3：利用已知条件求解未知波长
根据题目条件，当用已知波长为589.3nm的钠黄光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为${\Delta }_{1}=4\times {10}^{-3}m$；而当用未知单色光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为${\Delta }_{2}=3.85\times {10}^{-3}m$。根据步骤2中的公式，可以得到：
\[\Delta_1 = \sqrt{\frac{(4 + \frac{1}{2})\lambda_1 R}{2}} - \sqrt{\frac{(1 + \frac{1}{2})\lambda_1 R}{2}}\]
\[\Delta_2 = \sqrt{\frac{(4 + \frac{1}{2})\lambda_2 R}{2}} - \sqrt{\frac{(1 + \frac{1}{2})\lambda_2 R}{2}}\]
其中，$\lambda_1 = 589.3nm$，$\lambda_2$为未知单色光的波长。由于$\Delta_1$和$\Delta_2$已知，可以解出$\lambda_2$。

步骤 4：计算未知单色光的波长
将已知条件代入步骤3中的公式，可以得到：
\[\frac{\Delta_2}{\Delta_1} = \frac{\sqrt{\frac{(4 + \frac{1}{2})\lambda_2 R}{2}} - \sqrt{\frac{(1 + \frac{1}{2})\lambda_2 R}{2}}}{\sqrt{\frac{(4 + \frac{1}{2})\lambda_1 R}{2}} - \sqrt{\frac{(1 + \frac{1}{2})\lambda_1 R}{2}}}\]
化简后，可以得到：
\[\lambda_2 = \lambda_1 \left(\frac{\Delta_2}{\Delta_1}\right)^2\]
代入已知数值，可以得到未知单色光的波长。