题目
10．升降机中有一单摆，若当它随升降机匀速上升时，它的摆动周期是2s；则当它随升降机以(g)/(2)的加速度减速上升时，周期是2sqrt(2)s；当它随升降机以(g)/(2)的加速度加速上升时，周期是(2sqrt(6))/(3)s．
10．升降机中有一单摆，若当它随升降机匀速上升时，它的摆动周期是2s；则当它随升降机以$\frac{g}{2}$的加速度减速上升时，周期是2$\sqrt{2}$s；当它随升降机以$\frac{g}{2}$的加速度加速上升时，周期是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$s．
题目解答
答案
分析 据单摆的振动周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$求解，注意g为等效重力加速度，求解时，据单摆的振动周期联立求解即可．
解答 解：（1）据单摆的振动周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$：
当它随升降机匀速上升时，T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$=2s ①
当它随升降机以$\frac{g}{2}$的加速度减速上升时，等效重力加速度为：g-$\frac{g}{2}$．所以T1=2π$\sqrt{\frac{L}{g-\frac{g}{2}}}$ ②
联立①②解得：T1=2$\sqrt{2}$s
它随升降机以$\frac{g}{2}$的加速度加速上升时，等效重力加速度为：g+$\frac{g}{2}$，所以T2=2$π\sqrt{\frac{L}{g+\frac{g}{2}}}$ ③
联立①③解得：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$s
故答案为：2$\sqrt{2}$；$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
点评 解本题的关键：一是利用单摆的周期公式，知道g为等效重力加速度；二是会求等效重力加速度，知道等效重力加速度等于在平衡位置时视重除以质量．
解析
本题考查单摆的振动周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$的应用，解题的关键在于明确公式中$g$为等效重力加速度，并根据升降机的运动状态求出不同情况下的等效重力加速度，再结合已知条件联立求解周期。
- 当升降机匀速上升时：
- 此时单摆处于正常的重力场环境，根据单摆的振动周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$，已知此时周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2s$ ①。
- 当升降机以$\frac{g}{2}$的加速度减速上升时：
- 对单摆进行受力分析，根据牛顿第二定律$F = ma$，此时单摆所受的合力方向向下，等效重力加速度$g_{1}=g - \frac{g}{2}=\frac{g}{2}$。
- 再根据单摆的振动周期公式，此时周期$T_{1}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{1}}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g - \frac{g}{2}}}$ ②。
- 由①式可得$2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2$，两边同时平方得$4\pi^{2}\frac{L}{g}=4$，即$\pi^{2}\frac{L}{g}=1$，$L=\frac{g}{\pi^{2}}$。
- 将$L=\frac{g}{\pi^{2}}$代入②式，$T_{1}=2\pi\sqrt{\frac{\frac{g}{\pi^{2}}}{\frac{g}{2}}}=2\pi\sqrt{\frac{2}{\pi^{2}}}=2\sqrt{2}s$。
- 当升降机以$\frac{g}{2}$的加速度加速上升时：
- 对单摆进行受力分析，根据牛顿第二定律$F = ma$，此时单摆所受的合力方向向上，等效重力加速度$g_{2}=g+\frac{g}{2}=\frac{3g}{2}$。
- 再根据单摆的振动周期公式，此时周期$T_{2}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{2}}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g+\frac{g}{2}}}$ ③。
- 将$L=\frac{g}{\pi^{2}}$代入③式，$T_{2}=2\pi\sqrt{\frac{\frac{g}{\pi^{2}}}{\frac{3g}{2}}}=2\pi\sqrt{\frac{2}{3\pi^{2}}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}s$。