题目

16.(2023·浙江·统考高考真题)(15分)为了探究物体间碰撞特性,设计了如图所示的实-|||-验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接,两半径均为 R=0.4m 的四分之一-|||-圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量-|||-为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数 k=100N/m 的轻质弹簧连接,静置于轨道FG-|||-上。现有质量 m=0.12kg 的滑块a以初速度 _(0)=2sqrt (21)m/s 从D处进入,经DEF管道后,与FG-|||-上的滑块b碰撞(时间极短)。已知传送带长 =0.8m, 以 v=2m/s 的速率顺时针转动,滑块-|||-a与传送带间的动摩擦因数 mu =0.5, 其它摩擦和阻力均不计,各滑块均可视为质点,弹簧的弹-|||-性势能 _(p)=dfrac (1)(2)k(x)^2 (x为形变量)。-|||-(1)求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小F N;-|||-(2)若滑块a碰后返回到B点时速度 _(B)=1m/s, 求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能 Delta E;-|||-(3)若滑块a碰到滑块b立即被粘住,求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 Delta x-|||-A B C a D-|||-R-|||-O1 E O-|||-R b c

题目解答

答案

解析

考察知识

本题主要考察机械能守恒、圆周运动向心力、动量守恒、能量守恒等知识点，涉及滑块在轨道、传送带、圆弧管道中的运动，以及碰撞和弹簧弹性势能的变化。

题目(1)解析：求滑块a到达F点的速度和支持力

关键分析

滑块a从D点进入圆弧管道，经DEF到最低点F。D点到F点的高度差为2R（四分之一圆弧的直径），因阻力不计，机械能守恒。
在F点，滑块做圆周运动，支持力与重力的合力提供向心力。

计算过程

  1. 机械能守恒：
    初始动能$\frac{1}{2}mv_0^2$转化为F点动能$\frac{1}{2}mv_F^2$，重力势能减少$mg\cdot2R$：
    $mg\cdot2R = \frac{1}{2}mv_F^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$
    代入数据：$m=0.12kg$，$R=0.4m$，$v_0=2\sqrt{21}m/s$，$g=10m/s^2$：
    $0.12\times10\times0.8 = \frac{1}{2}\times0.12(v_F^2 - (2\sqrt{21})^2)$
    解得：$v_F=10m/s$。

  2. 向心力公式：
    在F点，支持力$F_N$减去重力$mg$提供向心力：
    $F_N - mg = m\frac{v_F^2}{R}$
    代入$v_F=10m/s$，$R=0.4m$：
    $F_N = 0.12\times10 + 0.12\times\frac{100}{0.4} = 1.2 + 30 = 31.2N$ 。

题目(2)解析：求碰撞损失的机械能

关键分析

滑块a碰后返回B点，速度$v_B=1m/s$。需逆向分析：从B到C（传送带）、C到F（圆弧），利用动能定理和机械能守恒求碰后a的速度$v_1$，再结合动量守恒求b的速度$v_2$，最后计算能量损失。

计算过程

  1. 传送带减速过程（B→C）：
    滑块a在传送带上减速，加速度$a=\mu g=5m/s^2$，传送带长度$L=0.8m$：
    $v_C^2 = v_B^2 + 2aL$
    代入$v_B=1m/s$：
    $v_C^2 = 1 + 2\times5\times0.8 = 9 \implies v_C=3m/s$ 。

  2. 圆弧上升过程（C→F）：
    从C到F，重力势能增加$mg\cdot2R$，动能减少：
    $\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\cdot2R$
    代入$v_C=3m/s$：
    $\frac{1}{2}\times0.12v_1^2 = \frac{1}{2}\times0.12\times9 + 0.12\times10\times0.8$
    解得：$v_1=5m/s$（方向与碰前相反，取负号）。

  3. 碰撞动量守恒：
    碰撞前a的动量$mv_F$，碰撞后a的动量$-mv_1$，b的动量$3mv_2$：
    $mv_F = -mv_1 + 3mv_2$
    代入$v_F=10m/s$，$v_1=5m/s$：
    $0.12\times10 = -0.12\times5 + 3\times0.12v_2 \implies v_2=5m/s$ 。

  4. 能量损失计算：
    碰撞前动能$\frac{1}{2}mv_F^2$，碰撞后总动能$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}\cdot3mv_2^2$：
    $\Delta E = \frac{1}{2}\times0.12\times100 - \left(\frac{1}{2}\times0.12\times25 + \frac{1}{2}\times0.36\times25\right) = 6 - (1.5 + 4.5) = 0$ 。

题目(3)解析：求弹簧最大与最小长度之差

关键分析

a与b粘住后共同速度为$V$，之后a、b、c系统在弹簧作用下运动，弹簧最长和最短时系统共速，利用动量守恒和能量守恒求形变量。

计算过程

  1. 碰撞后共同速度：
    a与b粘住，动量守恒：
    $mv_F = (m+3m)V \implies V=\frac{mv_F}{4m}=\frac{10}{4}=2.5m/s$ 。

  2. 弹簧最大/最小形变量：
    系统（a+b+c，总质量$6m$）共速时弹簧形变最大（压缩或伸长），设共速为$v'$：
    $4mV = 6mv' \implies v'=\frac{4V}{6}=\frac{5}{3}m/s$ 。

  3. 能量守恒求形变量：
    初始动能$\frac{1}{2}\cdot4mV^2$转化为共速时动能$\frac{1}{2}\cdot6mv'^2$和弹性势能$\frac{1}{2}kxkx^2$：
    $\frac{1}{2}\cdot4m(2.5)^2 = \frac{1}{2现在当前}\cdot6m\left(\frac{5}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}kx^2$
    代入$m=0.12kg$，$k=100N/m$：
    $\frac{1}{2}\times0.48\times6.25 = \frac{1}{2}\times0.72\times2.778 + 50x^2$
    解得：$x=0.1m$（压缩或伸长量相同）。

  4. 长度差：
    最大长度（伸长$x$）与最小长度（压缩$x$）之差为$2x=0.2m$。