题目
一质点沿x方向做简谐振动,振幅为A,当它的动能等于势能的一半时,质点处在以下哪一位置( )A、 =pm dfrac (sqrt {3)}(3)AA、 =pm dfrac (sqrt {3)}(3)AA、 =pm dfrac (sqrt {3)}(3)AA、 =pm dfrac (sqrt {3)}(3)A
一质点沿x方向做简谐振动,振幅为A,当它的动能等于势能的一半时,质点处在以下哪一位置( )
题目解答
答案
简谐振动中，动能
，势能
当动能等于势能的一半时，有
，即：
因为
，可得：
答案：A.
解析
步骤 1：简谐振动的动能和势能公式
简谐振动中，动能${E}_{k}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$，势能${E}_{p}=\dfrac {1}{2}k{x}^{2}$，其中$m$是质点的质量，$v$是质点的速度，$k$是弹簧的劲度系数，$x$是质点相对于平衡位置的位移。
步骤 2：动能等于势能一半时的条件
当动能等于势能的一半时，有${E}_{k}=\dfrac {1}{2}{E}_{p}$，即：
$\dfrac {1}{2}m{v}^{2}=\dfrac {1}{2}\times \dfrac {1}{2}\times k{x}^{2}$ $\dfrac {1}{2}m{(\omega A\sin \omega t)}^{2}=\dfrac {1}{4}k{(A\cos \omega t)}^{2}$
步骤 3：利用简谐振动的角频率和劲度系数关系
因为$k=m{\omega }^{2}$，可得：
$\dfrac {1}{2}{(A\sin \omega t)}^{2}=\dfrac {1}{4}{(A\cos \omega t)}^{2}$
步骤 4：解方程求解质点位置
$2{\sin }^{2}\omega t={\cos }^{2}\omega t$ $2{\sin }^{2}\omega t=1-{\sin }^{2}\omega t$ $3{\sin }^{2}\omega t=1$ $\sin \omega t=\pm \dfrac {\sqrt {3}}{3}$ $x=\pm \dfrac {\sqrt {3}}{3}A$
简谐振动中，动能${E}_{k}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$，势能${E}_{p}=\dfrac {1}{2}k{x}^{2}$，其中$m$是质点的质量，$v$是质点的速度，$k$是弹簧的劲度系数，$x$是质点相对于平衡位置的位移。
步骤 2：动能等于势能一半时的条件
当动能等于势能的一半时，有${E}_{k}=\dfrac {1}{2}{E}_{p}$，即：
$\dfrac {1}{2}m{v}^{2}=\dfrac {1}{2}\times \dfrac {1}{2}\times k{x}^{2}$ $\dfrac {1}{2}m{(\omega A\sin \omega t)}^{2}=\dfrac {1}{4}k{(A\cos \omega t)}^{2}$
步骤 3：利用简谐振动的角频率和劲度系数关系
因为$k=m{\omega }^{2}$，可得：
$\dfrac {1}{2}{(A\sin \omega t)}^{2}=\dfrac {1}{4}{(A\cos \omega t)}^{2}$
步骤 4：解方程求解质点位置
$2{\sin }^{2}\omega t={\cos }^{2}\omega t$ $2{\sin }^{2}\omega t=1-{\sin }^{2}\omega t$ $3{\sin }^{2}\omega t=1$ $\sin \omega t=\pm \dfrac {\sqrt {3}}{3}$ $x=\pm \dfrac {\sqrt {3}}{3}A$