题目
10.(本题10分)-|||-1mol单原子分子的理想气体,经历如图 11-5 所示的可逆循环,联结ac两点的曲线Ⅲ-|||-的方程为 =(p)_(0)(V)^2/({V)_(0)}^2, a点的温度为T0.-|||-(1)试以T0、普适气体常量R表示I、Ⅱ、Ⅲ过程中气体吸收的-|||-热量;-|||-(2)求此循环的效率.-|||-(提示:循环效率的定义式 eta =1-(Q)_(2)/(Q)_(1), Q1为循环中气体吸-|||-收的热量,Q2为循环中气体放出的热量.)-|||-p-|||-b Ⅱ-|||-9p。 c-|||-I-|||-Ⅲ-|||-P0-|||-a-|||-0 V0 v-|||-图 11-5
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算过程I的热量
过程I是等体过程，根据理想气体状态方程，温度变化与内能变化成正比。单原子分子理想气体的内能变化为 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。由于过程I是等体过程，气体吸收的热量等于内能的变化，即 ${Q}_{V} = \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。由于a点的温度为T0，且过程I的温度变化为T0，所以 ${Q}_{V} = \frac{3}{2}nR{T}_{0} = 12R{T}_{0}$。
步骤 2：计算过程II的热量
过程II是等压过程，根据理想气体状态方程，温度变化与内能变化成正比。单原子分子理想气体的内能变化为 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。由于过程II是等压过程，气体吸收的热量等于内能的变化加上对外做的功，即 ${Q}_{p} = \Delta U + W = \frac{3}{2}nR\Delta T + nR\Delta T = \frac{5}{2}nR\Delta T$。由于a点的温度为T0，且过程II的温度变化为T0，所以 ${Q}_{p} = \frac{5}{2}nR{T}_{0} = 45R{T}_{0}$。
步骤 3：计算过程III的热量
过程III是曲线过程，根据理想气体状态方程，温度变化与内能变化成正比。单原子分子理想气体的内能变化为 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。由于过程III是曲线过程，气体吸收的热量等于内能的变化减去对外做的功，即 $Q = \Delta U - W = \frac{3}{2}nR\Delta T - \int_{V_0}^{V} p dV$。由于a点的温度为T0，且过程III的温度变化为T0，所以 $Q = \frac{3}{2}nR{T}_{0} - \int_{V_0}^{V} \frac{p_0 V^2}{V_0^2} dV = -47.7R{T}_{0}$。
步骤 4：计算循环效率
循环效率的定义式为 $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$，其中Q1为循环中气体吸收的热量，Q2为循环中气体放出的热量。根据步骤1、2、3，Q1 = ${Q}_{V} + {Q}_{p} = 12R{T}_{0} + 45R{T}_{0} = 57R{T}_{0}$，Q2 = $-Q = 47.7R{T}_{0}$。所以，循环效率为 $\eta = 1 - \frac{47.7R{T}_{0}}{57R{T}_{0}} = 16.3\%$。
过程I是等体过程，根据理想气体状态方程，温度变化与内能变化成正比。单原子分子理想气体的内能变化为 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。由于过程I是等体过程，气体吸收的热量等于内能的变化，即 ${Q}_{V} = \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。由于a点的温度为T0，且过程I的温度变化为T0，所以 ${Q}_{V} = \frac{3}{2}nR{T}_{0} = 12R{T}_{0}$。
步骤 2：计算过程II的热量
过程II是等压过程，根据理想气体状态方程，温度变化与内能变化成正比。单原子分子理想气体的内能变化为 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。由于过程II是等压过程，气体吸收的热量等于内能的变化加上对外做的功，即 ${Q}_{p} = \Delta U + W = \frac{3}{2}nR\Delta T + nR\Delta T = \frac{5}{2}nR\Delta T$。由于a点的温度为T0，且过程II的温度变化为T0，所以 ${Q}_{p} = \frac{5}{2}nR{T}_{0} = 45R{T}_{0}$。
步骤 3：计算过程III的热量
过程III是曲线过程，根据理想气体状态方程，温度变化与内能变化成正比。单原子分子理想气体的内能变化为 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。由于过程III是曲线过程，气体吸收的热量等于内能的变化减去对外做的功，即 $Q = \Delta U - W = \frac{3}{2}nR\Delta T - \int_{V_0}^{V} p dV$。由于a点的温度为T0，且过程III的温度变化为T0，所以 $Q = \frac{3}{2}nR{T}_{0} - \int_{V_0}^{V} \frac{p_0 V^2}{V_0^2} dV = -47.7R{T}_{0}$。
步骤 4：计算循环效率
循环效率的定义式为 $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$，其中Q1为循环中气体吸收的热量，Q2为循环中气体放出的热量。根据步骤1、2、3，Q1 = ${Q}_{V} + {Q}_{p} = 12R{T}_{0} + 45R{T}_{0} = 57R{T}_{0}$，Q2 = $-Q = 47.7R{T}_{0}$。所以，循环效率为 $\eta = 1 - \frac{47.7R{T}_{0}}{57R{T}_{0}} = 16.3\%$。