题目
10-26 半径为R的无限长均匀带电圆柱体,电-|||-荷线密度为 +1. 试求:-|||-(1)圆柱体内外的电场强度分布;-|||-(2)圆柱体内外的电势分布(取柱面为电势-|||-零点).
题目解答
答案
解析
步骤 1：圆柱体内外的电场强度分布
- 对于圆柱体内部（$r < R$）：使用高斯定理，选取一个半径为 $r$ 的同轴圆柱面作为高斯面，高斯面内的电荷量为 $\lambda \cdot \pi r^2 / \pi R^2 = \lambda r^2 / R^2$。根据高斯定理，电场强度 $E$ 与高斯面的面积成正比，即 $E \cdot 2\pi r L = \lambda r^2 / R^2 / \varepsilon_0$，解得 $E = \lambda r / (2\pi \varepsilon_0 R^2)$。
- 对于圆柱体外部（$r > R$）：选取一个半径为 $r$ 的同轴圆柱面作为高斯面，高斯面内的电荷量为 $\lambda$。根据高斯定理，电场强度 $E$ 与高斯面的面积成正比，即 $E \cdot 2\pi r L = \lambda / \varepsilon_0$，解得 $E = \lambda / (2\pi \varepsilon_0 r)$。
步骤 2：圆柱体内外的电势分布
- 对于圆柱体内部（$r < R$）：电势 $U$ 可以通过电场强度 $E$ 的积分得到，即 $U = -\int_{R}^{r} E dr = -\int_{R}^{r} \lambda r / (2\pi \varepsilon_0 R^2) dr = \lambda / (2\pi \varepsilon_0) (1 - r^2 / R^2)$。
- 对于圆柱体外部（$r > R$）：电势 $U$ 可以通过电场强度 $E$ 的积分得到，即 $U = -\int_{R}^{r} E dr = -\int_{R}^{r} \lambda / (2\pi \varepsilon_0 r) dr = \lambda / (2\pi \varepsilon_0) \ln (R / r)$。
- 对于圆柱体内部（$r < R$）：使用高斯定理，选取一个半径为 $r$ 的同轴圆柱面作为高斯面，高斯面内的电荷量为 $\lambda \cdot \pi r^2 / \pi R^2 = \lambda r^2 / R^2$。根据高斯定理，电场强度 $E$ 与高斯面的面积成正比，即 $E \cdot 2\pi r L = \lambda r^2 / R^2 / \varepsilon_0$，解得 $E = \lambda r / (2\pi \varepsilon_0 R^2)$。
- 对于圆柱体外部（$r > R$）：选取一个半径为 $r$ 的同轴圆柱面作为高斯面，高斯面内的电荷量为 $\lambda$。根据高斯定理，电场强度 $E$ 与高斯面的面积成正比，即 $E \cdot 2\pi r L = \lambda / \varepsilon_0$，解得 $E = \lambda / (2\pi \varepsilon_0 r)$。
步骤 2：圆柱体内外的电势分布
- 对于圆柱体内部（$r < R$）：电势 $U$ 可以通过电场强度 $E$ 的积分得到，即 $U = -\int_{R}^{r} E dr = -\int_{R}^{r} \lambda r / (2\pi \varepsilon_0 R^2) dr = \lambda / (2\pi \varepsilon_0) (1 - r^2 / R^2)$。
- 对于圆柱体外部（$r > R$）：电势 $U$ 可以通过电场强度 $E$ 的积分得到，即 $U = -\int_{R}^{r} E dr = -\int_{R}^{r} \lambda / (2\pi \varepsilon_0 r) dr = \lambda / (2\pi \varepsilon_0) \ln (R / r)$。