题目

当 r.v.X 的所有可能取值充满区间(）时，函数 f(x)=cos x 可作为概率密度函数。 A. [0,(pi)/(2)]B. [(pi)/(2),pi]C. [0,pi]D. [(3pi)/(2),(7pi)/(4)]

当 r.v.X 的所有可能取值充满区间(）时，函数 $f(x)=\cos x$ 可作为概率密度函数。

  • A. $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$
  • B. $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$
  • C. $[0,\pi]$
  • D. $\left[\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}\right]$

题目解答

答案

概率密度函数 $f(x) = \cos x$ 需满足非负性和归一性。 - **非负性**： A. $[0, \frac{\pi}{2}]$：$\cos x \geq 0$，满足。 B. $[\frac{\pi}{2}, \pi]$：$\cos x \leq 0$，不满足。 C. $[0, \pi]$：$\cos x$ 有正有负，不满足。 D. $[\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}]$：$\cos x \geq 0$，满足。 - **归一性**： A. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = 1$，满足。 B. $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx = -1$，不满足。 C. $\int_{0}^{\pi} \cos x \, dx = 0$，不满足。 D. $\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{7\pi}{4}} \cos x \, dx = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$，不满足。 **答案：** $\boxed{A}$

解析

概率密度函数需要满足两个条件：非负性（函数值在定义域内非负）和归一性（积分在定义域内等于1）。本题需判断哪个区间使$f(x)=\cos x$同时满足这两个条件。

关键思路：

  1. 非负性：$\cos x \geq 0$的区间为$[0, \frac{\pi}{2}]$和$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$等。
  2. 归一性：计算区间内$\cos x$的积分是否等于1。

选项分析

A. $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$

  • 非负性：$\cos x$在$[0, \frac{\pi}{2}]$内非负。
  • 归一性：
    $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1 - 0 = 1$
    满足条件。

B. $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$

  • 非负性：$\cos x$在$[\frac{\pi}{2}, \pi]$内非正，不满足非负性。

C. $[0,\pi]$

  • 非负性：$\cos x$在$[0, \frac{\pi}{2}]$正，在$[\frac{\pi}{2}, \pi]$负，整体不满足非负性。

D. $\left[\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}\right]$

  • 非负性：$\cos x$在$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$内非负，但$\frac{7\pi}{4} < 2\pi$，仍非负。
  • 归一性：
    $\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{7\pi}{4}} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{7\pi}{4}} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 1$
    不满足归一性。