题目
半径分别为 1.0cm 与 2.0cm 的两个球形导体，各带电荷 1.0times 10^-^8 C ，两球相距很远，若用细导线将两球相连接。求：(1)每个球所带电荷；(2)每球的电势.( (1)/(4πε_0) =9times 10^9Ncdot m^2cdot C^2 )
半径分别为$ 1.0cm $与$ 2.0cm $的两个球形导体，各带电荷$ 1.0\times 10^-^8 C $，两球相距很远，若用细导线将两球相连接。
求：(1)每个球所带电荷；
(2)每球的电势.($ \frac{1}{4πε_0} =9\times 10^9N\cdot m^2\cdot C^2 $)
题目解答
答案
(1)设两球的半径分别为$ r_1 $和$ r_2 $，相连接后所带电荷分别为$ q_1 $和$ q_2 $，则各球的电势分别为$ V_1 =\frac{q_1}{4πε_0r_1 } =V_2 =\frac{q_2}{4πε_0r_2 } $，$ \frac{q_1}{r_1} =\frac{q_2}{r_2} $①
已知两导体球原先各带的电荷量为$ q= 1.0\times 10^8C $因此有$ q_1+q_2=2q $②
联立①②，求解得：$ q_1=\frac{r_12q}{r_1+r_2} =6.67\times 10^-^9C $，$ q_2=\frac{r_22q}{r_1+r_2} =13.3\times 10^-^9C $
(2)两导体球的电势均为$ V_1 =V_2=\frac{q_1}{4πε_0r_1 } =6.0\times 10^3V $
解析
步骤 1：确定电势相等的条件
由于两球相距很远，可以认为它们之间没有相互影响。当用细导线将两球连接后，两球的电势相等，即$ V_1 = V_2 $。根据球形导体的电势公式$ V = \frac{q}{4πε_0r} $，可以得到$ \frac{q_1}{r_1} = \frac{q_2}{r_2} $，其中$ q_1 $和$ q_2 $分别是两球连接后的电荷量，$ r_1 $和$ r_2 $分别是两球的半径。
步骤 2：求解连接后两球的电荷量
已知两球原先各带电荷$ q = 1.0\times 10^-^8 C $，因此有$ q_1 + q_2 = 2q $。联立$ \frac{q_1}{r_1} = \frac{q_2}{r_2} $和$ q_1 + q_2 = 2q $，可以求解出$ q_1 $和$ q_2 $的值。将$ r_1 = 1.0cm $，$ r_2 = 2.0cm $，$ q = 1.0\times 10^-^8 C $代入，得到$ q_1 = \frac{r_12q}{r_1+r_2} = 6.67\times 10^-^9 C $，$ q_2 = \frac{r_22q}{r_1+r_2} = 13.3\times 10^-^9 C $。
步骤 3：计算每球的电势
根据球形导体的电势公式$ V = \frac{q}{4πε_0r} $，可以计算出每球的电势。将$ q_1 = 6.67\times 10^-^9 C $，$ r_1 = 1.0cm $，$ \frac{1}{4πε_0} = 9\times 10^9 N\cdot m^2\cdot C^2 $代入，得到$ V_1 = V_2 = \frac{q_1}{4πε_0r_1} = 6.0\times 10^3 V $。
由于两球相距很远，可以认为它们之间没有相互影响。当用细导线将两球连接后，两球的电势相等，即$ V_1 = V_2 $。根据球形导体的电势公式$ V = \frac{q}{4πε_0r} $，可以得到$ \frac{q_1}{r_1} = \frac{q_2}{r_2} $，其中$ q_1 $和$ q_2 $分别是两球连接后的电荷量，$ r_1 $和$ r_2 $分别是两球的半径。
步骤 2：求解连接后两球的电荷量
已知两球原先各带电荷$ q = 1.0\times 10^-^8 C $，因此有$ q_1 + q_2 = 2q $。联立$ \frac{q_1}{r_1} = \frac{q_2}{r_2} $和$ q_1 + q_2 = 2q $，可以求解出$ q_1 $和$ q_2 $的值。将$ r_1 = 1.0cm $，$ r_2 = 2.0cm $，$ q = 1.0\times 10^-^8 C $代入，得到$ q_1 = \frac{r_12q}{r_1+r_2} = 6.67\times 10^-^9 C $，$ q_2 = \frac{r_22q}{r_1+r_2} = 13.3\times 10^-^9 C $。
步骤 3：计算每球的电势
根据球形导体的电势公式$ V = \frac{q}{4πε_0r} $，可以计算出每球的电势。将$ q_1 = 6.67\times 10^-^9 C $，$ r_1 = 1.0cm $，$ \frac{1}{4πε_0} = 9\times 10^9 N\cdot m^2\cdot C^2 $代入，得到$ V_1 = V_2 = \frac{q_1}{4πε_0r_1} = 6.0\times 10^3 V $。