题目
半径为R的无限长柱形导体上均匀流有电流I,该导体材料的相对磁导率r =1,则在导体轴线上一点的磁场能量密度为wmo =____0_____,在与导体轴线相距r处( r <R)的磁场能量密度wmr =dfrac ({mu )_(0)(I)^2(r)^2}((8{pi )^2(R)^4)}。
半径为R的无限长柱形导体上均匀流有电流I,该导体材料的相对磁导率r =1,则在导体轴线上一点的磁场能量密度为wmo =____0_____,在与导体轴线相距r处( r <R)的磁场能量密度wmr =
。
题目解答
答案
解:由安培定律可得:
,而磁能密度
所以,
。
解析
步骤 1：应用安培定律计算磁场
根据安培定律，对于半径为R的无限长柱形导体，当r < R时，磁场B的大小为：
\[ B = \frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi {R}^{2}} \]
其中，${\mu }_{0}$是真空磁导率，I是电流，r是距离导体轴线的距离，R是导体的半径。
步骤 2：计算磁场能量密度
磁场能量密度${W}_{m}$的公式为：
\[ {W}_{m} = \frac{1}{2}\frac{{B}^{2}}{{\mu }_{0}} \]
将步骤1中得到的B值代入，得到：
\[ {W}_{m} = \frac{1}{2}\frac{{\left(\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi {R}^{2}}\right)}^{2}}{{\mu }_{0}} = \frac{1}{2}\frac{{\mu }_{0}^{2}{I}^{2}{r}^{2}}{4{\pi }^{2}{R}^{4}{\mu }_{0}} = \frac{{\mu }_{0}{I}^{2}{r}^{2}}{8{\pi }^{2}{R}^{4}} \]
步骤 3：确定轴线上一点的磁场能量密度
当r = 0时，即在导体轴线上一点，磁场B = 0，因此磁场能量密度${W}_{m0}$也为0。
\[ {W}_{m0} = 0 \]
根据安培定律，对于半径为R的无限长柱形导体，当r < R时，磁场B的大小为：
\[ B = \frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi {R}^{2}} \]
其中，${\mu }_{0}$是真空磁导率，I是电流，r是距离导体轴线的距离，R是导体的半径。
步骤 2：计算磁场能量密度
磁场能量密度${W}_{m}$的公式为：
\[ {W}_{m} = \frac{1}{2}\frac{{B}^{2}}{{\mu }_{0}} \]
将步骤1中得到的B值代入，得到：
\[ {W}_{m} = \frac{1}{2}\frac{{\left(\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi {R}^{2}}\right)}^{2}}{{\mu }_{0}} = \frac{1}{2}\frac{{\mu }_{0}^{2}{I}^{2}{r}^{2}}{4{\pi }^{2}{R}^{4}{\mu }_{0}} = \frac{{\mu }_{0}{I}^{2}{r}^{2}}{8{\pi }^{2}{R}^{4}} \]
步骤 3：确定轴线上一点的磁场能量密度
当r = 0时，即在导体轴线上一点，磁场B = 0，因此磁场能量密度${W}_{m0}$也为0。
\[ {W}_{m0} = 0 \]