七、在真空中,有一电荷为Q,半径为R的均匀带电球壳,其电荷是面分布的。试求:-|||-(1)球壳内两点"A、YB间的电势差;(2)球壳外两点`C、Yo间的电势差;(3)球壳-|||-外任意点的电势;(4)球壳内任意点的电势。(14分)

考查要点：本题主要考查均匀带电球壳的电场分布及电势差、电势的计算，需结合高斯定理和电势的积分定义。

解题核心思路：

1. 电场分布：利用高斯定理确定球壳内外的电场强度。
2. 电势差计算：根据电场分布，通过电势差公式 $V_A - V_B = -\int_{B}^{A} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$ 计算。
3. 电势计算：以无限远处为电势零点，积分电场强度求解。

破题关键点：

• 球壳内电场为零，导致内部任意两点电势差为零。
• 球壳外电场等效于点电荷，电势随距离 $r$ 变化。
• 球壳表面为等势面，内部电势等于表面电势。

第（1）题：球壳内两点间的电势差

确定电场分布

由高斯定理，球壳内（$r < R$）电场强度 $E_1 = 0$。

计算电势差

因电场为零，移动电荷时电场力做功为零，故：
$V_A - V_B = -\int_{B}^{A} \mathbf{E}_1 \cdot d\mathbf{l} = 0$

第（2）题：球壳外两点间的电势差

确定电场分布

球壳外（$r > R$）电场强度 $E_2 = \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$，方向径向向外。

计算电势差

沿径向路径积分：
$V_C - V_D = -\int_{D}^{C} E_2 \, dr = \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{r_C} - \dfrac{1}{r_D} \right)$

第（3）题：球壳外任意点的电势

积分电场强度

以无限远处为电势零点：
$V(r) = -\int_{\infty}^{r} E_2 \, dr = \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}$

第（4）题：球壳内任意点的电势

利用等势性

球壳内电场为零，电势处处相等，且等于球壳表面电势：
$V_{\text{内}} = V(R) = \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$