题目

一物体沿x轴做简谐振动,振幅为10.0cm,周期-|||-为2s,在 t=0 时,物体坐标为5cm;且向x轴负方-|||-向运动,求-|||-(1)振动方程的数值表达式;-|||-(2)第一次到达 x=-5m 处时,物体的加速度和速-|||-度;-|||-(3)从(2)中所示位置回到平衡位置需要的最短时-|||-间,

$\begin {aligned} &一物体沿x轴做简谐振动,振幅为10.0 cm,周期\\&为2s,在t=0时,物体坐标为5cm,且向x轴负方\\&向运动,求\\ &(1)振动方程的数值表达式;\\ &(2)第一次到达x=-5 m处时,物体的加速度和速\\&度; \\ &(3)从(2)中所示位置回到平衡位置需要的最短时\\&间. \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &(1) 振动方程的数值表达式 \\ &振动的角频率为： \\ &\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \ {rad/s} \\ &假设振动方程为： \\ &x(t) = A {{\cos}}(\omega t + \phi) \\ &根据初始条件 t = 0 时 x = 5 cm： \\ &5 = 10 {{\cos}}(\phi) \\ &{{\cos}}(\phi) = \frac{5}{10} = 0.5 \\ &\phi = \frac{\pi}{3} \\ &因此，振动方程为： \\ &x(t) = 10 {{\cos}}\left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \ {cm} \\ &(2) 第一次到达 x = -5 cm 时，物体的加速度和速\\&度 \\ &设 x(t) = -5 cm： \\ &10 {{\cos}}\left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = -5 \\ &{{\cos}}\left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \\ &解方程得到： \\ &\pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \end {aligned}$ $\begin {aligned} &\pi t = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \\ &t = \frac{1}{3} \ {s} \\ &此时的速度为： \\ &v(t) = -A \omega {{\sin}}\left(\omega t + \phi\right) = -10 \times \\&\pi {{\sin}}\left(\pi \times \frac{1}{3} + \frac{\pi}{3}\right) \\ &v = -10\pi {{\sin}}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -10\pi \times \frac{\sqrt{3}}{2}\\& = -5\sqrt{3}\pi \ {cm/s} \\ &加速度为： \\ &a(t) = -A \omega^2 {{\cos}}\left(\omega t + \phi\right) = -10 \times \pi^2 {{\cos}}\\&\left(\pi \times \frac{1}{3} + \frac{\pi}{3}\right) \\ &a = -10\pi^2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 5\pi^2 \ {cm/s}^2 \\ &(3) 从 x = -5 cm 位置回到平衡位置需要的最短时\\&间 \\ &要求 x(t) = 0 ，即： \\ &10 {{\cos}}\left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \\ &{{\cos}}\left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \\ &\pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi {{\quad}} (k \in \mathbb{Z}) \\ &第一次到达平衡位置的时间： \\ &\pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \\ &\pi t = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \\ &t = \frac{7}{6} \ {s} \\ &从 t = \frac{1}{3} s 到 t = \frac{7}{6} s 所需的时间为： \\ &\frac{7}{6} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \ {s} \\ &因此，从 x = -5 cm 位置回到平衡位置的最短时\\&间为： \\ &\frac{5}{6} \ {s} \end {aligned}$