设 A 是 m times n 矩阵,方程组 Ax = 0 仅有零解的充要条件是 R(A)()A. 小于mB. 小于nC. 等于mD. 等于n

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组解的理论，特别是解的唯一性与系数矩阵秩之间的关系。

解题核心思路：
齐次方程组 $Ax=0$ 的解空间维数由 系数矩阵的秩 和 未知数个数 决定。当 秩等于未知数个数 时，解空间维数为0，即仅有零解。

破题关键点：

• 秩与解的关系：若 $R(A) = n$，则方程组仅有零解；若 $R(A) < n$，则存在非零解。
• 选项辨析：注意区分矩阵行数 $m$ 和列数 $n$ 的影响，正确选项需直接关联未知数个数 $n$。

齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解的性质如下：

1. 解空间维数公式：解空间的维数为 $n - R(A)$，其中 $n$ 是未知数个数。
2. 唯一解条件：当且仅当 $n - R(A) = 0$ 时，方程组仅有零解，即 $R(A) = n$。

选项分析：

• A. 小于m：与未知数个数无关，无法保证唯一解。
• B. 小于n：此时 $n - R(A) > 0$，存在非零解。
• C. 等于m：若 $m < n$，则 $R(A) = m < n$，仍存在非零解。
• D. 等于n：满足 $n - R(A) = 0$，方程组仅有零解。