设氢原子的状态是[psi' = ( (1)/(2) R_(21)(r) Y_(11)(theta, varphi) -(sqrt(3))/(2) R_(21)(r) Y_(10)(theta, varphi) _z 的可能取值，及其对应的取值几率和平均值；

1. 轨道角动量平方 $\hat{L}^2$： 唯一取值为 $2\hbar^2$，几率为 100%。 \[ \langle \hat{L}^2 \rangle = 2\hbar^2 \] 2. 轨道角动量 $z$ 分量 $\hat{L}_z$： - 取值 $\hbar$，几率 $P(m=1) = \frac{1}{4}$。 - 取值 $0$，几率 $P(m=0) = \frac{3}{4}$。 \[ \langle \hat{L}_z \rangle = \frac{\hbar}{4} \] 3. 自旋角动量 $z$ 分量 $\hat{S}_z$： - 取值 $+\frac{\hbar}{2}$，几率 $P\left(s_z = +\frac{\hbar}{2}\right) = \frac{1}{4}$。 - 取值 $-\frac{\hbar}{2}$，几率 $P\left(s_z = -\frac{\hbar}{2}\right) = \frac{3}{4}$。 \[ \langle \hat{S}_z \rangle = -\frac{\hbar}{4} \] 最终结果： - $\hat{L}^2 = 2\hbar^2$（100%）。 - $\hat{L}_z = \hbar$（25%），$0$（75%）。 - $\hat{S}_z = +\frac{\hbar}{2}$（25%），$-\frac{\hbar}{2}$（75%）。 - 平均值：$\langle \hat{L}^2 \rangle = 2\hbar^2$，$\langle \hat{L}_z \rangle = \frac{\hbar}{4}$，$\langle \hat{S}_z \rangle = -\frac{\hbar}{4}$。