例题:如图所示,一长为l、质量为m的均匀细棒,可绕光滑轴O在竖直面内转动.棒由水平位置从静止下落,转到竖直位置时与原静止于地面上的质量也为m的小滑块碰撞,碰撞时间极短滑块与地面的摩擦系数为μ碰后滑块移动S后停止,棒继续沿原方向转动,求碰后棒的质心C离地面的最大高度h

步骤 1：棒下摆，机械能守恒
棒从水平位置下摆到竖直位置，机械能守恒。棒的初始势能全部转化为动能。设棒的转动惯量为 $J$，角速度为 $\omega$，则有：
$$
mgl = \frac{1}{2} J \omega^2 + mg \frac{l}{2}
$$
其中，$J = \frac{1}{3} ml^2$，代入上式得：
$$
mgl = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} ml^2 \omega^2 + mg \frac{l}{2}
$$
化简得：
$$
\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}
$$
步骤 2：棒和滑块的碰撞，系统角动量守恒
棒和滑块碰撞时，系统角动量守恒。设碰撞后滑块的速度为 $v$，则有：
$$
m \cdot \frac{l}{2} \cdot \omega = m \cdot v + m \cdot \frac{l}{2} \cdot \omega'
$$
其中，$\omega'$ 是碰撞后棒的角速度。化简得：
$$
v = \frac{l}{2} (\omega - \omega')
$$
步骤 3：滑块运动，动能定理
滑块仅受摩擦力作用，由动能定理得：
$$
-f \cdot S = 0 - \frac{1}{2} m v^2
$$
其中，$f = \mu mg$，代入上式得：
$$
-\mu mg \cdot S = -\frac{1}{2} m v^2
$$
化简得：
$$
v = \sqrt{2 \mu g S}
$$
步骤 4：棒上摆，机械能守恒
棒上摆时，机械能守恒。设棒的质心离地面的最大高度为 $h$，则有：
$$
\frac{1}{2} J \omega'^2 + mg \frac{l}{2} = mgh
$$
代入 $J = \frac{1}{3} ml^2$，得：
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} ml^2 \omega'^2 + mg \frac{l}{2} = mgh
$$
化简得：
$$
h = \frac{l}{2} + \frac{1}{3} l \omega'^2
$$
步骤 5：联立求解
联立步骤 2 和步骤 3，得：
$$
\sqrt{2 \mu g S} = \frac{l}{2} (\sqrt{\frac{3g}{l}} - \omega')
$$
化简得：
$$
\omega' = \sqrt{\frac{3g}{l}} - \frac{2 \sqrt{2 \mu g S}}{l}
$$
代入步骤 4，得：
$$
h = \frac{l}{2} + \frac{1}{3} l \left( \sqrt{\frac{3g}{l}} - \frac{2 \sqrt{2 \mu g S}}{l} \right)^2
$$
化简得：
$$
h = \frac{l}{2} + \frac{1}{3} l \left( \frac{3g}{l} - 2 \sqrt{\frac{6 \mu g S}{l}} + \frac{8 \mu g S}{l} \right)
$$
化简得：
$$
h = \frac{l}{2} + \frac{1}{3} l \left( \frac{3g}{l} - 2 \sqrt{\frac{6 \mu g S}{l}} + \frac{8 \mu g S}{l} \right)
$$
化简得：
$$
h = \frac{l}{2} + g \left( 1 - \frac{2 \sqrt{6 \mu S}}{\sqrt{l}} + \frac{8 \mu S}{3} \right)
$$