题目
9-31 已知两同方向同频率的简谐振动的运动方程分别为 _(1)=0.05cos (10t+0.75pi ) _(2)=-|||-.06cos (10t+0.25pi ), 式中x1、x2的单位为m,t的单位为s求:(1)合振动的振幅及初相;-|||-(2)若有另一同方向同频率的简谐振动 _(3)=0.07cos (10t+varphi ), 式中x3的单位为m,t的单位为-|||-s,则φ3为多少时, _(1)+(x)_(3) 的振幅最大?又3为多少时, _(2)+(x)_(3) 的振幅最小?
题目解答
答案
解析
步骤 1：求合振动的振幅及初相
首先，将两个简谐振动的运动方程写成复数形式，以便于计算。对于 ${x}_{1}=0.05\cos (10t+0.75\pi )$ 和 ${x}_{2}=0.06\cos (10t+0.25\pi )$，可以表示为复数形式 ${z}_{1}=0.05\exp (i(10t+0.75\pi ))$ 和 ${z}_{2}=0.06\exp (i(10t+0.25\pi ))$。合振动的复数形式为 ${z}_{1}+{z}_{2}$，其振幅为 $|{z}_{1}+{z}_{2}|$，初相为 $\arg({z}_{1}+{z}_{2})$。
步骤 2：计算合振动的振幅
将 ${z}_{1}$ 和 ${z}_{2}$ 相加，得到 ${z}_{1}+{z}_{2}=0.05\exp (i(10t+0.75\pi ))+0.06\exp (i(10t+0.25\pi ))$。由于两个简谐振动的频率相同，可以将它们的相位差表示为 $\Delta \varphi =0.75\pi -0.25\pi =0.5\pi$。因此，合振动的振幅为 $|{z}_{1}+{z}_{2}|=\sqrt{{0.05}^{2}+{0.06}^{2}+2\times 0.05\times 0.06\times \cos(0.5\pi)}=\sqrt{{0.05}^{2}+{0.06}^{2}}=0.078m$。
步骤 3：计算合振动的初相
合振动的初相为 $\arg({z}_{1}+{z}_{2})=\arg(0.05\exp (i(10t+0.75\pi ))+0.06\exp (i(10t+0.25\pi )))$。由于两个简谐振动的频率相同，可以将它们的相位差表示为 $\Delta \varphi =0.75\pi -0.25\pi =0.5\pi$。因此，合振动的初相为 $\arg({z}_{1}+{z}_{2})=\arctan\left(\frac{0.05\sin(0.75\pi)+0.06\sin(0.25\pi)}{0.05\cos(0.75\pi)+0.06\cos(0.25\pi)}\right)=1.48rad$。
步骤 4：求 ${x}_{1}+{x}_{3}$ 的振幅最大时的φ3
对于 ${x}_{1}+{x}_{3}$ 的振幅最大，需要 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{3}$ 的相位差为0，即 $\varphi_{3}=0.75\pi+2k\pi$，其中k为整数。
步骤 5：求 ${x}_{2}+{x}_{3}$ 的振幅最小时的φ3
对于 ${x}_{2}+{x}_{3}$ 的振幅最小，需要 ${x}_{2}$ 和 ${x}_{3}$ 的相位差为 $\pi$，即 $\varphi_{3}=0.25\pi+\pi+2k\pi=1.25\pi+2k\pi$，其中k为整数。
首先，将两个简谐振动的运动方程写成复数形式，以便于计算。对于 ${x}_{1}=0.05\cos (10t+0.75\pi )$ 和 ${x}_{2}=0.06\cos (10t+0.25\pi )$，可以表示为复数形式 ${z}_{1}=0.05\exp (i(10t+0.75\pi ))$ 和 ${z}_{2}=0.06\exp (i(10t+0.25\pi ))$。合振动的复数形式为 ${z}_{1}+{z}_{2}$，其振幅为 $|{z}_{1}+{z}_{2}|$，初相为 $\arg({z}_{1}+{z}_{2})$。
步骤 2：计算合振动的振幅
将 ${z}_{1}$ 和 ${z}_{2}$ 相加，得到 ${z}_{1}+{z}_{2}=0.05\exp (i(10t+0.75\pi ))+0.06\exp (i(10t+0.25\pi ))$。由于两个简谐振动的频率相同，可以将它们的相位差表示为 $\Delta \varphi =0.75\pi -0.25\pi =0.5\pi$。因此，合振动的振幅为 $|{z}_{1}+{z}_{2}|=\sqrt{{0.05}^{2}+{0.06}^{2}+2\times 0.05\times 0.06\times \cos(0.5\pi)}=\sqrt{{0.05}^{2}+{0.06}^{2}}=0.078m$。
步骤 3：计算合振动的初相
合振动的初相为 $\arg({z}_{1}+{z}_{2})=\arg(0.05\exp (i(10t+0.75\pi ))+0.06\exp (i(10t+0.25\pi )))$。由于两个简谐振动的频率相同，可以将它们的相位差表示为 $\Delta \varphi =0.75\pi -0.25\pi =0.5\pi$。因此，合振动的初相为 $\arg({z}_{1}+{z}_{2})=\arctan\left(\frac{0.05\sin(0.75\pi)+0.06\sin(0.25\pi)}{0.05\cos(0.75\pi)+0.06\cos(0.25\pi)}\right)=1.48rad$。
步骤 4：求 ${x}_{1}+{x}_{3}$ 的振幅最大时的φ3
对于 ${x}_{1}+{x}_{3}$ 的振幅最大，需要 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{3}$ 的相位差为0，即 $\varphi_{3}=0.75\pi+2k\pi$，其中k为整数。
步骤 5：求 ${x}_{2}+{x}_{3}$ 的振幅最小时的φ3
对于 ${x}_{2}+{x}_{3}$ 的振幅最小，需要 ${x}_{2}$ 和 ${x}_{3}$ 的相位差为 $\pi$，即 $\varphi_{3}=0.25\pi+\pi+2k\pi=1.25\pi+2k\pi$，其中k为整数。