题目
设随机变量X在[0,π]上服从均匀分布，则E(sin X)=(2)/(pi).( )(3分)bigcirc正确bigcirc错误
设随机变量X在[0,π]上服从均匀分布，则$E(\sin X)=\frac{2}{\pi}$.( )(3分)
$\bigcirc$正确
$\bigcirc$错误
题目解答
答案
为了确定 $ E(\sin X) = \frac{2}{\pi} $ 是否正确，我们需要计算随机变量 $ X $ 在区间 $[0, \pi]$ 上服从均匀分布时，$ \sin X $ 的期望值。
随机变量 $ X $ 在区间 $[a, b]$ 上服从均匀分布时，其概率密度函数 $ f(x) $ 为：
\[ f(x) = \frac{1}{b-a} \]
对于区间 $[0, \pi]$，概率密度函数为：
\[ f(x) = \frac{1}{\pi} \]
函数 $ g(X) $ 的期望值 $ E(g(X)) $ 由下式给出：
\[ E(g(X)) = \int_a^b g(x) f(x) \, dx \]
在我们的情况下，$ g(X) = \sin X $，因此：
\[ E(\sin X) = \int_0^\pi \sin x \cdot \frac{1}{\pi} \, dx \]
我们可以从积分中提取常数 $\frac{1}{\pi}$：
\[ E(\sin X) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin x \, dx \]
$\sin x$ 的积分是 $-\cos x$，因此我们有：
\[ \int_0^\pi \sin x \, dx = -\cos x \Big|_0^\pi = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 \]
因此：
\[ E(\sin X) = \frac{1}{\pi} \cdot 2 = \frac{2}{\pi} \]
所以，$ E(\sin X) = \frac{2}{\pi} $ 的说法是正确的。
答案是：$\boxed{\text{正确}}$
解析
步骤 1：确定概率密度函数
随机变量 $X$ 在区间 $[0, \pi]$ 上服从均匀分布，因此其概率密度函数 $f(x)$ 为： \[ f(x) = \frac{1}{\pi} \]
步骤 2：计算期望值
函数 $g(X) = \sin X$ 的期望值 $E(g(X))$ 由下式给出： \[ E(g(X)) = \int_0^\pi \sin x \cdot \frac{1}{\pi} \, dx \] 我们可以从积分中提取常数 $\frac{1}{\pi}$： \[ E(\sin X) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin x \, dx \]
步骤 3：计算积分
$\sin x$ 的积分是 $-\cos x$，因此我们有： \[ \int_0^\pi \sin x \, dx = -\cos x \Big|_0^\pi = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 \] 因此： \[ E(\sin X) = \frac{1}{\pi} \cdot 2 = \frac{2}{\pi} \]
随机变量 $X$ 在区间 $[0, \pi]$ 上服从均匀分布，因此其概率密度函数 $f(x)$ 为： \[ f(x) = \frac{1}{\pi} \]
步骤 2：计算期望值
函数 $g(X) = \sin X$ 的期望值 $E(g(X))$ 由下式给出： \[ E(g(X)) = \int_0^\pi \sin x \cdot \frac{1}{\pi} \, dx \] 我们可以从积分中提取常数 $\frac{1}{\pi}$： \[ E(\sin X) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin x \, dx \]
步骤 3：计算积分
$\sin x$ 的积分是 $-\cos x$，因此我们有： \[ \int_0^\pi \sin x \, dx = -\cos x \Big|_0^\pi = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 \] 因此： \[ E(\sin X) = \frac{1}{\pi} \cdot 2 = \frac{2}{\pi} \]