如题9.4.1图所示的双缝干涉,假定两列光波在屏上P点处的光场随时间t而变化的表-|||-达式各为-|||-_(1)=(E)_(0)sin omega t-|||-r1 P-|||-S1-|||-s o-|||-S2-|||-D-|||-题9.4.1图-|||-_(2)=(E)_(0)sin (omega t+phi )-|||-表示这两列光波之间的相位差.试证P点处的合振幅为-|||-_(p)=(E)_(m)cos (dfrac (pi d)(lambda )sin theta )-|||-式中λ是光波波长Em是Ep的最大值.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查双缝干涉中波的叠加原理，涉及相位差与光程差的关系，以及利用三角恒等式求解合成振幅。
解题核心思路：
- 确定相位差：根据光程差与波长的关系，推导两列光波的相位差。
- 波的叠加：将两列光波的电场表达式相加，利用三角恒等式化简，得到合成波的表达式。
- 提取振幅：从合成波的表达式中提取振幅，并结合最大值条件完成证明。
破题关键点：
- 相位差公式：$\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda} \cdot d \sin \theta$（光程差为$d \sin \theta$）。
- 三角恒等式：$\sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2}$。
步骤1：确定相位差
两列光波的光程差为 $d \sin \theta$，对应相位差为：
$\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda} \cdot d \sin \theta = \dfrac{2\pi d}{\lambda} \sin \theta.$
步骤2：叠加两列波的电场
两列波的电场分别为 $E_1 = E_0 \sin \omega t$ 和 $E_2 = E_0 \sin (\omega t + \varphi)$，合成电场为：
$E = E_1 + E_2 = E_0 \sin \omega t + E_0 \sin (\omega t + \varphi).$
步骤3：应用三角恒等式化简
利用恒等式 $\sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2}$，得：
$E = 2 E_0 \cos \dfrac{\varphi}{2} \sin \left( \omega t + \dfrac{\varphi}{2} \right).$
步骤4：提取合成振幅
合成波的振幅为：
$E_p = 2 E_0 \cos \dfrac{\varphi}{2}.$
步骤5：关联最大值条件
当 $\cos \dfrac{\varphi}{2} = 1$ 时，振幅最大，即 $E_m = 2 E_0$。因此：
$E_p = E_m \cos \dfrac{\varphi}{2}.$
步骤6：代入相位差表达式
将 $\varphi = \dfrac{2\pi d}{\lambda} \sin \theta$ 代入，得：
$E_p = E_m \cos \left( \dfrac{\pi d}{\lambda} \sin \theta \right).$