题目
4-17 一半径为R、质量为m的匀质圆盘,以角速度w绕其中心轴转动,现-|||-将它平放在一水平板上,盘与板表面的摩擦因数为μ.(1)求圆盘所受的摩擦力-|||-矩;(2)问经过多少时间后,圆盘才能停止转动?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算圆盘上半径为r、宽度为dr的同心圆环所受的摩擦力矩
圆盘上半径为r、宽度为dr的同心圆环所受的摩擦力为 $d{F}_{f}=2\pi r\mu mgdr/\pi {R}^{2}$，其方向与环的半径垂直。因此，该圆环的摩擦力矩为 $dM=r\times d{F}_{f}=-(2{r}^{2}\mu mgdr/{R}^{2})k$，其中k为轴向的单位矢量。
步骤 2：计算圆盘所受的总摩擦力矩
圆盘所受的总摩擦力矩大小为 $M=\int dM={\int }_{0}^{R}\dfrac {2{r}^{2}\mu mg}{{R}^{2}}dr=\dfrac {2}{3}\mu mgR$。
步骤 3：计算圆盘停止转动所需的时间
由于摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量 $J=m{R}^{2}/2$。由角动量定理 $M\Delta t=\Delta ({S}_{\omega })$，可得圆盘停止的时间为 $\Delta t=\dfrac {JW}{M}=\dfrac {3WR}{4\mu g}$。
圆盘上半径为r、宽度为dr的同心圆环所受的摩擦力为 $d{F}_{f}=2\pi r\mu mgdr/\pi {R}^{2}$，其方向与环的半径垂直。因此，该圆环的摩擦力矩为 $dM=r\times d{F}_{f}=-(2{r}^{2}\mu mgdr/{R}^{2})k$，其中k为轴向的单位矢量。
步骤 2：计算圆盘所受的总摩擦力矩
圆盘所受的总摩擦力矩大小为 $M=\int dM={\int }_{0}^{R}\dfrac {2{r}^{2}\mu mg}{{R}^{2}}dr=\dfrac {2}{3}\mu mgR$。
步骤 3：计算圆盘停止转动所需的时间
由于摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量 $J=m{R}^{2}/2$。由角动量定理 $M\Delta t=\Delta ({S}_{\omega })$，可得圆盘停止的时间为 $\Delta t=\dfrac {JW}{M}=\dfrac {3WR}{4\mu g}$。