题目
抛物面 z = x ^ 2 + y ^ 2 被平面 x + y + z = 1 截成一椭圆求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值
抛物面 z = x ^ 2 + y ^ 2 被平面 x + y + z = 1 截成一椭圆求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值
题目解答
答案
解设椭圆上的点为 (x,y,z), 则椭圆上的点到原点的距离平方为 d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}. x,y,z z满足条件 z=x^{2}+y^{2},x+y+z=1. 作拉格朗日函数 =x^{2}+y^{2}+z^{2}+ \lambda (z-x^{2}-y^{2})+ \mu (x+y+z-1) 令 \cases {L_{x}=2x-2 \lambda x+ \mu =0, \cr L_{y}=2y-2 \lambda y+ \mu =0, \cr L_{z}=2z+ \lambda + \mu =0.} (1) (2) (3) (1)-(2)，得 (1- \lambda )(x-y)=0. 故有 \lambda =1 或 x=y. 由 \lambda =1 \Rightarrow \mu =0,z=- \dfrac {1}{2}, 不合题意，故舍去. 将 x=y 代入 z=x^{2}+y^{2} 和 x+y+z=1, 得 z=2x^{2},2x+z=1 \Rightarrow 2x^{2}+2x-1=0 解得 x=y= \dfrac {-1 \pm \sqrt {3}}{2},z=2 \mp \sqrt {3}. 于是得到两个可能的极值点： M_{1} \left ( \dfrac {-1+ \sqrt {3}}{2}, \dfrac {-1+ \sqrt {3}}{2},2- \sqrt {3} \right ),M_{2} \left ( \dfrac {-1- \sqrt {3}} 由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值 分别在这两点处取得.而 2( \dfrac {-1 \pm \sqrt {3}}{2})^{2}+(2 \mp \sqrt {3})^{2}=9 \mp 5 \sqrt {3}, 故最大值与最小值分别为 d_{max}=d_{M_{2}}= \sqrt {9+5 \sqrt {3}},d_{min}=d_{M_{1}}= \sqrt {9-5 \sqrt {3}}.
解析
步骤 1：定义距离函数
设椭圆上的点为 (x,y,z)，则椭圆上的点到原点的距离平方为 d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
步骤 2：引入约束条件
x,y,z 满足条件 z=x^{2}+y^{2} 和 x+y+z=1.
步骤 3：构造拉格朗日函数
构造拉格朗日函数 L = x^{2}+y^{2}+z^{2}+ \lambda (z-x^{2}-y^{2})+ \mu (x+y+z-1).
步骤 4：求偏导数
令 \cases {L_{x}=2x-2 \lambda x+ \mu =0, \cr L_{y}=2y-2 \lambda y+ \mu =0, \cr L_{z}=2z+ \lambda + \mu =0.}
步骤 5：解方程组
(1)-(2)，得 (1- \lambda )(x-y)=0. 故有 \lambda =1 或 x=y. 由 \lambda =1 \Rightarrow \mu =0,z=- \dfrac {1}{2}, 不合题意，故舍去. 将 x=y 代入 z=x^{2}+y^{2} 和 x+y+z=1, 得 z=2x^{2},2x+z=1 \Rightarrow 2x^{2}+2x-1=0 解得 x=y= \dfrac {-1 \pm \sqrt {3}}{2},z=2 \mp \sqrt {3}.
步骤 6：确定可能的极值点
于是得到两个可能的极值点： M_{1} \left ( \dfrac {-1+ \sqrt {3}}{2}, \dfrac {-1+ \sqrt {3}}{2},2- \sqrt {3} \right ),M_{2} \left ( \dfrac {-1- \sqrt {3}}{2}, \dfrac {-1- \sqrt {3}}{2},2+ \sqrt {3} \right ).
步骤 7：计算距离
由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值分别在这两点处取得.而 2( \dfrac {-1 \pm \sqrt {3}}{2})^{2}+(2 \mp \sqrt {3})^{2}=9 \mp 5 \sqrt {3}.
设椭圆上的点为 (x,y,z)，则椭圆上的点到原点的距离平方为 d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
步骤 2：引入约束条件
x,y,z 满足条件 z=x^{2}+y^{2} 和 x+y+z=1.
步骤 3：构造拉格朗日函数
构造拉格朗日函数 L = x^{2}+y^{2}+z^{2}+ \lambda (z-x^{2}-y^{2})+ \mu (x+y+z-1).
步骤 4：求偏导数
令 \cases {L_{x}=2x-2 \lambda x+ \mu =0, \cr L_{y}=2y-2 \lambda y+ \mu =0, \cr L_{z}=2z+ \lambda + \mu =0.}
步骤 5：解方程组
(1)-(2)，得 (1- \lambda )(x-y)=0. 故有 \lambda =1 或 x=y. 由 \lambda =1 \Rightarrow \mu =0,z=- \dfrac {1}{2}, 不合题意，故舍去. 将 x=y 代入 z=x^{2}+y^{2} 和 x+y+z=1, 得 z=2x^{2},2x+z=1 \Rightarrow 2x^{2}+2x-1=0 解得 x=y= \dfrac {-1 \pm \sqrt {3}}{2},z=2 \mp \sqrt {3}.
步骤 6：确定可能的极值点
于是得到两个可能的极值点： M_{1} \left ( \dfrac {-1+ \sqrt {3}}{2}, \dfrac {-1+ \sqrt {3}}{2},2- \sqrt {3} \right ),M_{2} \left ( \dfrac {-1- \sqrt {3}}{2}, \dfrac {-1- \sqrt {3}}{2},2+ \sqrt {3} \right ).
步骤 7：计算距离
由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值分别在这两点处取得.而 2( \dfrac {-1 \pm \sqrt {3}}{2})^{2}+(2 \mp \sqrt {3})^{2}=9 \mp 5 \sqrt {3}.