若一个体系由一个质子和一个电子组成，设它的归一化空间波函数为ψ(x1，y1，z1；x2，y2，z2)，其中足标1，2分别代表质子和电子，试写出： (1)在同一时刻发现质子处于(1，0，0)处，电子处于(0，1，1)处的几率密度；(2)发现电子处于(0，0，0)，而不管质子在何处的几率密度；(3)发现两粒子都处于半径为1、中心在坐标原点的球内的几率大小

本题主要考查量子力学中波函数与概率密度的关系，以及如何利用波函数计算不同情况下的概率密度和概率。解题的关键在于理解波函数的物理意义，即波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度，通过对波函数在相应空间区域进行积分可以得到在该区域发现粒子的概率。

(1) 在同一时刻发现质子处于$(1,0,0)$处，电子处于$(0,1,1)$处的几率密度

在量子力学中，对于一个由多个粒子组成的体系，其概率密度由波函数的模的平方给出，即$\rho = |\psi|^2$。
已知体系的归一化空间波函数为$\psi(x_1,y_1,z_1;x_2,y_2,z_2)$，当质子处于$(1,0,0)$处，电子处于$(0,1,1)$处时，此时的波函数为$\psi(1,0,0;0,1,1)$。
那么在该位置发现质子和电子的概率密度就是$\vert\psi(1,0,0;0,1,1)\vert^2$。

(2) 发现电子处于$(0,0,0)$，而不管质子在何处的几率密度

要计算发现电子处于$(0,0,0)$，而不管质子在何处的概率，需要对质子的所有可能位置进行积分。
此时波函数为$\psi(x,y,z;0,0,0)$，其中$(x,y,z)$表示质子的位置。
根据概率的计算方法，对波函数的模的平方在整个空间（即对$x,y,z$进行积分）进行积分，就可以得到发现电子处于$(0,0,0)$，而不管质子在何处的概率，即$P = \iiint_{\mathbb{R}^3} |\psi(x,y,z;0,0,0)|^2 dxdydz$。

(3) 发现两粒子都处于半径为$1$、中心在坐标原点的球内的几率大小

为了计算两粒子都处于半径为$1$、中心在坐标原点的球内的概率，需要将波函数转换到球坐标系下进行积分。
在球坐标系中，$x = r\sin\theta\cos\varphi$，$y = r\sin\theta\sin\varphi$，$z = r\cos\theta$，体积元$dV = r^2\sin\theta drd\theta d\varphi$。
对于质子，其位置用$(r_1,\theta_1,\varphi_1)$表示，积分范围是$0\leq r_1\leq 1$，$0\leq \theta_1\leq \pi$，$0\leq \varphi_1\leq 2\pi$；对于电子，其位置用$(r_2,\theta_2,\varphi_2)$表示，积分范围是$0\leq r_2\leq 1$，$0\leq \theta_2\leq \pi$，$0\leq \varphi_2\leq 2\pi$。
则发现两粒子都处于半径为$1$、中心在坐标原点的球内的概率为：
$\begin{align*}P&=\int_{0}^{1} r_1^2 dr_1 \int_{0}^{\pi} \sin\theta_1 d\theta_1 \int_{0}^{2\pi} d\varphi_1 \int_{0}^{1} r_2^2 dr_2 \int_{0}^{\pi} \sin\theta_2 d\theta_2 \int_{0}^{2\pi} d\varphi_2 |\psi(r_1,\theta_1,\varphi_1;r_2,\theta_2,\varphi_2)|^2\\&=\left(\int_{0}^{1} r_1^2 dr_1 \int_{0}^{\pi} \sin\theta_1 d\theta_1 \int_{0}^{2\pi} d\varphi_1\right) \left(\int_{0}^{1} r_2^2 dr_2 \int_{0}^{\pi} \sin\theta_2 d\theta_2 \int_{0}^{2\pi} d\varphi_2\right) |\psi(r_1,\theta_1,\varphi_1;r_2,\theta_2,\varphi_2)|^2\end{align*}$