10.若行列式 |} 1& 2& 3 2& 3& 5 1& 2& k | . =0,则 k= ()-|||-A. -3 . B.5-|||-C. -5 . D.3

考查要点：本题主要考查3阶行列式的计算及行列式为零时参数的求解方法。

解题思路：

1. 行列式展开法：直接展开行列式，将表达式化简为关于k的一元一次方程求解。
2. 行变换简化法：通过行变换将行列式化为上三角矩阵，利用对角线乘积为零的性质求解k。

关键点：

• 行列式展开时注意符号交替（第一行符号为+、-、+）。
• 行变换不改变行列式的零性质，通过消元简化计算。

方法一：行列式展开法

行列式展开式为：
$\begin{aligned}\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & k \end{vmatrix} &= 1 \cdot (3k - 10) - 2 \cdot (2k - 5) + 3 \cdot (4 - 3) \\ &= (3k - 10) - 4k + 10 + 3 \\ &= -k + 3. \end{aligned}$
令行列式等于零：
$-k + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 3.$

方法二：行变换法

对原矩阵进行行变换：

1. 第二行减去第一行的2倍：
   $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \quad \Rightarrow \quad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & k \end{vmatrix}$
2. 第三行减去第一行：
   $R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \quad \Rightarrow \quad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & k-3 \end{vmatrix}$

此时行列式为上三角矩阵，其值为对角线元素乘积：
$1 \cdot (-1) \cdot (k-3) = -(k-3).$
令行列式等于零：
$-(k-3) = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 3.$